СОДЕРЖАНИЕ
Введение
I. Теоритическая часть.
1 Моделирование экономических систем с использованием Марковских случайных процессов………………………………………………………….3
1.1 Основные понятия Марковских процессов…………………………….3
1.2 Марковские цепи…………………………………………………………5
2 Модель прогноза тенденции финансирования штатного состава фирмы.8
2.1 Качественная модель……………………………………………………..8
2.2 Прогноз возможности сохранения структуры через управление политикой фирмы ……………………………………………………..12
II Расчетная часть.
1 Реализация модели прогноза тенденции финансирования штатного состава фирмы……………………………………………………………….14
2 Прогноз……………………………………………………………………..25
Список источников информации……………………………………………….26ВВЕДЕНИЕ
Важнейшим фактором повышения эффективности производства в любой отрасли является улучшение управления.
Совершенствование форм и методов управления происходит на основе достижений научно-технического прогресса, дальнейшего развития информатики, занимающейся изучением законов, методов и способов накопления, обработки и передачи информации с помощью электронных вычислительных машин (ЭВМ) и других технических средств. Методы и средства информатики реализуются в виде автоматизированных информационных технологий (АИТ), называемых также новыми или современными.
Под технологией в широком смысле понимают науку о производстве материальных благ, включающую три аспекта: информационный, инструментальный и социальный. Информационный аспект включает описание принципов и методов производства, инструментальный – орудия труда, с помощью которых реализуется производство, социальный – кадры и их организацию. В более узком промышленном смысле технология рассматривается как последовательность действий над предметом труда в целях получения конечного продукта.
Понятие информационная технология возникло в последние десятилетия XX в. в процессе становления информатики. Особенностью информационных технологий является то, что в ней и предметом, и продуктом труда является информация, а орудиями труда – средства вычислительной техники и связи. Информационная технология как наука о производстве информации возникла именно потому, что информация стала рассматриваться как вполне реальный производственный ресурс наряду с другими материальными ресурсами. Причем производство информации и ее верхнего уровня – знаний оказывает решающее влияние на модификацию и создание новых промышленных технологий.
Как и планирование, прогнозирование – это род предвидения, поскольку имеет дело с получением информации о будущем. Вместе с тем между планированием и прогнозированием существуют серьезные различия.
Известный отечественный футуролог И. Бестужев- Лада разделил прогнозирование и планирование как предсказание и предуказание.
Предуказание, включает в себя планирование и его элементы – целепологание, программирование , проектирование, основано на принятии решений о проблемах, выявленных на стадии предсказания, на учете всех критических аспектов будущего.
Таким образом, в предвидении будущего фирмы прогнозирование, с одной стороны, предшествует планированию, а с другой – является его составной частью, используется на разных стадиях осуществления деятельности по планированию:
1. применяется на этапе анализа среды и определения предпосылок для формирования стратегии фирмы
2. осуществляется на стадии реализации планов для оценки возможных результатов и их отклонения от плановых показателей и имеет целью организации дополнительных управляющих воздействий на ликвидацию отклонений.
По своему составу прогнозирование шире планирования, т.к. включает не только показатели деятельности фирмы, но и разнообразные данные о ее внешней среде.
Методы прогнозирования можно разделить на две группы. Это эвристические методы, которые основаны на преобладании интуиции, т.е. субъективных начал. Другую группу образуют экономико-математические методы, в которых превалируют объективные начала. К их числу относятся статистические методы. Значительное число методов в той или иной степени объединяют элементы обеих групп.
Статистические методы занимают особое место в прогнозировании. Методы математической и прикладной статистики используются при планировании любых работ по прогнозированию, при обработке данных, полученных как эвристическими методами, так и при использовании собственно экономико-математических методов.
Большая часть математических моделей имеет форму компьютерных программ. Находясь в процессе выполнения, такие программы позволяют исследовать развитие внутрифирменных взаимосвязей, т.е. придают моделям динамический характер.
К недостаткам применения методов экономико-математического моделирования в рамках прогнозирования будущего экономической организации можно отнести:
- необходимость серьезных затрат на оргнанизацию исследовательской работы и оплату труда специалистов
- невозможность охватить в моделях все наиболее существенные тенденции развития
- высокую вероятность внезапных изменений, разрушительных событий, существенно снижающих полезный эффект модели.
1
I Теоретическая часть
1 Моделирование экономических систем с использованием Марковских случайных процессов
1.1 Основные понятия Марковских процессов
Функция Х(t) называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной.
Случайная функция Х(t) , аргументом которой является время, называется случайным процессом.
Марковские процессы являются частным видом случайных процессов . Особое место Марковских процессов среди других классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для Марковских процессов хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать многие практические задачи; с помощью Марковских процессов можно описать поведение достаточно сложных систем.
Определение. Случайный процесс, протекающий в какой либо системе S, называется Марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента времени
вероятность любого состояния системы в будущем (при
) и не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние.
Классификация Марковских процессов. Классификация Марковских случайных процессов производится в зависимости от непрерывности и дискретности множества значений функций Х(t) и параметра t. Различают следующие основные виды Марковских случайных процессов:
- с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова);
- с непрерывными состояниями и дискретным временем (марковские последовательности );
- с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова);
- с непрерывным состоянием и непрерывным временем.
В данной работе будут рассматриваться только марковские процессы с дискретными состояниями S1,S2,….,Sn.
Граф состояний. Марковские процессы с дискретными состояниями удобно иллюстрировать с помощью так называемого графа состояний , где кружками обозначены состояния S1,S2,….,Sn системы S, а стрелками- возможные переходы из состояния в состояние. На графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния . Возможные задержки в прежнем состоянии изображают «петлей», т.е. стрелкой , направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным ).
Рисунок 1 - Граф состояния системы S.
1.2 Марковские цепи
Марковский случайные процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называютМарковской цепью. Для такого процесса моменты
, когда система S может менять свое состояние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время t, номер шага 1, 2, ….., k, … Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний S(0), S(1), S(2),…..,S(k),…, где S(0)- начальное состояние системы (перед первым шагом); S(1)- состояние системы после первого шага; S(k)- состояние системы после k-го шага…
Событие {S(k)=Si}, состояние в том, что сразу после k-го шага система находится в состоянии Si(i=1,2,…), является случайным событием. Последовательность сосотояний S(0), S(1), S(2),…..,S(k),… можно рассматривать как последовательность случайных событий. Такая случайная последовательность событий называется Марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния Si в любом Sj не зависит от того, когда и как система пришла в состояние Si. Начальное состояние S(0) может быть заданием заранее или случайным.
Вероятностями состояний цепи Маркова называются вероятности
того, что после k-го шага ( и до (k+1)-го ) система S будет находиться в состоянии Si(i=1,2,…,n) . Очевидно, для любого k
Начальным распределением вероятностей Марковской цепи называется распределение вероятностей состояний в начале процесса:
P1(0),P2(0),…..,Pi(0),…,Pn(0).
В частном случае, если первоначальное состояние системы S в точности известно S(0)= Si, то начальная вероятность Pi(0)=1, а все остальные равны нулю. Вероятность перехода на k-м шаге из состояния Si в состояние Sj при условии , что непосредственно перед этим она находится в состоянии Si.
Поскольку система может пребывать в одном из n состояний, то для каждого момента времени t необходимо задать
вероятностей перехода Pij, которое удобно представить в виде следующей матрицы:
где Pij- вероятность перехода за один шаг из состояния Si в состояние Sj ,
Pii- вероятность задержки системы в состояние Si .
Матрица называется переходной или матрицей переходных вероятностей.
Если переходные вероятности не зависят от номера шага, а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая цепь Маркова называется однородной.
Переходные вероятности однородной Марковской цепи Pij образуют квадратную матрицу размера n*n. Отметим некоторые ее особенности:
1. Каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного состояния, в том числе и переход в самое себя.
2. Элементы столбцов показывают вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец -в состояние).
3. Сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:
4. По главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности Pii того, что система не выйдет из состояния Si, а останется в нем.
Если для однородной Марковской цепи заданы начальное распределение вероятностей и матрица перехода вероятностей ||Pij|| , то вероятности состояний системы Pi(k) (
).
2 Модель прогноза тенденции финансирования штатного состава фирмы
2.1 Качественная модель
Выделим в системе фирмы к- основных категорий (должностей).Рассмотрим ситуацию типичную для многих организаций , вступивших в определенную стадию роста. Проблема заключается в том, что численность старших должностей растет относительно более низких. Трудность заключается не в том ,что персонал старших рангов не желателен, а в том, что он выше оплачивается.
В период застоя в росте ассигнований , перспектива постоянного роста расходов на заработную плату , ставит перед директором следующие вопросы:
1 каков прогноз тенденции финансирования штатного состава,
2 что может быть сделано для прекращения роста расходов или для снижения.
Построение математической модели.
Модель будем строить в два этапа:
1) На первом этапе дадим количественное описание системы;
2) На втором этапе введем ряд органичений относительно происходящих в ней изменений .
1) Количественные характеристики задачи- это запасы и потоки
Запасом будем называть количество людей в какой либо категории на данный момент времени
, где
- количество людей в определенной должности Т- момент времени.
На данном этапе моделирование ранжирование класса по старшинству необходимо. Объем запасов могут меняться в любое время, но поведение всей системы опраксимируется по периоду наибольшего числа.
Потоки. Размер запасов измеряется из-за наличия потоков направленных как в систему (принятие) так из системы (увольнение) , а так же за счет перемещения внутри системы.
Поток, направленный внутри системы- это количество людей перешедших за один период времени из категории i и j :
Потоком направленным за пределы системы (потоком увольнения)- называется количество людей уволившихся из данного класса во временной период
, а принятые
Соотношение между запасами и потоками в каком либо классе j на момент времени Т+1, будет выражать количество людей в категории j к моменту Т+1.
(1)
Выразим количество людей оставшихся в категории j за период Т
Тогда (1) примет вид:
(1)* Основное уравнение
(1)* соответствует системе уравнений, которое позволяет выявить основные ограничения в которых действует система.
Допущения относительно потоков.
Для начала построим статистическую модель , проведя статистическое исследование данных по запасам и потокам и получим модель. Рассмотрим потоки характеризующие повышения должности. Они характеризуются некоторой совокупностью факторов варьирующихся от одного к другому виду. Иногда количество повышений прямо связано с количеством образовавшихся вакансий.
В других случаях повышения происходят по достижении уровня квалификации. Возьмем за основу последнюю возможность, которая выражается пропорциональной зависимостью вида:
Замечание: Здесь не учитывается статистические колебания и такие допущения не учитываются, что уходит из системы на уровне отдельных лиц становится событием непредсказуемым.
Реалистическая модель должна включать в себя элемент стохастичности. Допустим, что перемещения происходят независимо и каждый индивидуум в классе I характеризуется величиной
- вероятностью перехода его в класс j за период Т+1, и величиной
- это вероятность увольнения из фирмы. Тогда:
(2)
При этом допущении число лиц переходящих из класса i в класс j за год , случайная величина с биномиальным распределением при заданном начальном запасе
. Ожидаемый поток при этом будет:
В организации или фирме с фиксированным общим числом сотрудников , общее число вновь набранных будет равняться числу ушедших.
R(T+1)- вновь набранные за год.
(3)
Обычно распределение лиц по классам определяется потребностями или политикой фирмы и поэтому фиксирована.
Следовательно, можно допустить, что доля общего числа нанимаемых
зарезервирована для каждого класса i причем:
Допущения модели будут характеризоваться :
1) Матрицей
- это матрица вероятностей перехода сотрудников в другие классы или матрица управляющая перемещениями внутри системы.
2) Вектор вероятности ухода
) связанный с матрицей Р соотношения (2)
3) Вектор распределения нанимаемых в классы
4) Ограничением
Основное уравнение прогнозирования.
Перейдем к построению уравнения модели. Так как запасы следующего года случайные величины, то их значения не могут быть точно предсказаны в этих условиях используются ожидаемые величины случайной переменной.
Найдем математическое ожидание в обеих частях уравнения (1)
(4)
Тогда уравнение принимает вид
Если параметры модели известны, то запас следующего года Т+1 может быть найден по запасу текущего года Т путем перемножения матриц
,т.е. система штатного финансирования фирмы может быть спрогнозирована цепью Маркова для которой вектором вероятности состояния системы является вектор ожидаемого распределения сотрудников по классам
, а матрицей вероятности перехода системы является матрица Q . Такая цепь Маркова является искомой моделью прогноза.
Анализ.
Применяя аппарат цепей Маркова по формуле (5)* можно сделать прогноз ожидаемого числа сотрудников по каждой должности на любое количество или вперед опираясь на штатное расписание в начале прогноза.
Возможен долгосрочный прогноз ожидания распределения сотрудников для ситуации когда система приходит в устойчивое положение - стационарное состояние цепи Маркова ; вектор стационарного состояния.
Матрица Q действительно является МВПС цепи Маркова , так как для нее справедливо основное уравнение МВПС:
2.2 Прогноз возможности сохранения структуры через уравнения политикой фирмы
С обнаружением роста численности в более высоких классах с известной скоростью появляется задача управления ситуацией с помощью прогноза политики фирмы.
Предположим, что дирекция желает удержать систему на определенном уровне.
Пусть
та структура которую желательно сохранить
(6)
В математических терминах задача прогноза управления сводится к нахождению такой матрицы Q при которой выполняется равенство (6), но Q- это функция от Р,
, а эти не все поддаются управлению:
- Естественные потери не находятся под непосредственным контролем администратора, а увольнения стараются избежать, т.е.
не самый удачный вариант для управления.
- Перевод в более высокий класс находится под непосредственным контролем администратора и вектор приема так же является непосредственным управлению.
1) Для начала прогноза сделаем допущения которые часто соответствует действительности. Допустим, что Р и
вообще не могут быть изменены и все управление должно быть реализовано через политику найма (через вектор
), который может изменяться по желанию руководства при соблюдении условий
,
(7), так как
, то (6) принимает вид:
Условие сохранения структуры при управлении. При этом ограничение (7) будет выполняться если
2) Продолжим прогноз предполагая, что руководству необходимо сохранить без изменения политику найма и увольнения, и пытаться сохранить структуру, изменить политику перевода внутри системы , т.е. из класса в класс.
Из
получаем:
Таким образом, используя (9) определяется политика перевода сохраняющей структуру и дается прогноз на будущее.
II Расчетная часть
1 Реализация модели прогноза тенденции финансирования штатного состава фирмы
Цель:
1. Используя аппарат целей Маркова, сделать прогнозы тенденции увеличения расходов на заработную плату,
2. Решить задачу административного управления:
- о возможности сохранения данной структуры штатов
- о достижимости оптимальной структуры
Постановка задачи:
Штат сотрудников некоторой организации составляет 1290 человек, которые разделяются на 5 основных категорий (классов), ранжированных в порядке увеличения уровня квалификации.
Известны:
- начальное распределение сотрудников по категориям(0);
- распределение нанимаемых за год по категориям;
- распределение вероятности увольнения за год по категориям;
- матрица вероятностей перехода сотрудников из класса в класс за год P, определяющая политику повышений;
