№13. ИНТЕРПРИТАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ПОТРЕБЛЕНИЯ. СМЫСЛ СУММЫbiВ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ И ЗНАЧЕНИЕ СУММЫbi>1. КОЭФФИЦИЕНТЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ ОЦЕНКИ СРАВНИТЕЛЬНОЙ СИЛЫ ВОЗДЕЙСТВИЯ ФАКТОРОВ НА РЕЗУЛЬТАТ.
Функция потребления: С=К*у+L, где С-потребление, у-доход, К и L-параметры функции.(у=С+I, I-размер инвистиций). Предположим, что функция потребления составила :С=1,9 + 0,65 *у .Коэффициент регрессии характеризует склонность к потреблению. Он показывает, что из каждой тысячи дохода на потребление расходуется в среднем 650 руб., а 350 руб. инвестируются. В производственных функциях:
гдеР- количество продукта, изготавливаемого с помощьютпроизводственных факторов (F1,F2,..., Fm);b-параметр, являющийся эластичностью количества продукции по отношению к количеству соответствующих производственных факторов.
Экономический смысл имеют не только коэффициентыbкаждого фактора, но и их сумма, т. е. сумма эластичностей:В=b1+ b2+...+ Ьт.Эта величина фиксирует обобщенную характеристику эластичности производства.
При практических расчетах не всегда
.Она может быть как больше, так и меньше единицы. В этом случае величинаВфиксирует приближенную оценку эластичности выпуска с ростом каждого фактора производства на 1 % в условиях увеличивающейся(В> 1) или уменьшающейся(В< 1) отдачи на масштаб. Так, еслиР = 2,4*F
*F20,7* F30,2, то с ростом значений каждого фактора производства на 1 % выпуск продукции в целом возрастает приблизительно на 1,2 %.
№14. НАЗНАЧЕНИЕ ЧАСТНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ.Ранжирование факторов, участвующих во множественной линейной регрессии, может быть проведено через стандартизованные коэффициенты регрессии, с помощью частных коэффициентов корреляции — для линейных связей. При нелинейной взаимосвязи исследуемых признаков эту функцию выполняют частные индексы детерминации. Кроме того, частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения того или иного фактора в модель доказывается величиной показателя частной корреляции.
Частные коэффициенты (или индексы) корреляциихарактеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.
Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.
Частные коэффициенты корреляцииизмеряющие влияние на у фактора хiпри неизменном уровне др. факторов можно определить по формуле:
;
При двух факторах и i=1 данная формула примет вид:
Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до 1.
№15. ЧАСТНЫЙ F-КРИТЕРИЙ, ЕГО ОТЛИЧИЕ ОТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО F-КРИТЕРИЯ, СВЯЗЬ МЕЖДУ СОБОЙ t- КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА ДЛЯ ОЦЕНКИ ЗНАЧИМОСТИ biИ ЧАСТНЫМ F-КРИТЕРИЕМ .
Ввиду корреляции м/у факторами значимость одного и того же фактора м/б различной в зависимости от последовательности его введения в модель. Мерой для оценки включения фактора в модель служит частый F-критерий, т.е. Fxi. В общем виде для фактора xiчастый F-критерий определяется как :
Если рассматривается уравнениеy=a+b1x1+b2+b3x3+e, то определяются последовательно F-критерий для уравнения с одним фактором х1, далее F-критерий для дополнительного включения в модель фактора х2, т. е. для перехода от однофакторного уравнения регрессии к двухфакторному, и, наконец, F-критерий для дополнительного включения в модель фактора х3, т. е. дается оценка значимости фактора х3после включения в модель факторов x1их2. В этом случае F-критерий для дополнительного включения фактора х2после х1является последовательным в отличие от F-критерия для дополнительного включения в модель фактора х3, который является частным F-критерием, ибо оценивает значимость фактора в предположении, что он включен в модель последним. С t-критерием Стьюдента связан именно частный F-критерий. Последовательный F-критерий может интересовать исследователя на стадии формирования модели. Для уравненияy=a+b1x1+b2+b3x3+eоценка значимости коэффициентов регрессииЬ1,Ь2,,b3предполагает расчет трех межфакторных коэффициентов детерминации, а именно:
,
,
и можно убедиться, что существует связь между собой t- критерия Стьюдента для оценки значимости biи частным F-критерием:
На основе соотношения biи
получим:
№16 ПРЕДПОСЫЛКИ МНК.
При оценке параметров уравнения регрессии применяется МНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно составляющей
, которая представляет собой ненаблюдаемую величину.
Исследования остатков
-предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:1.случайный характер остатков; 2.нулевая средняя величина остатков, не зависящая от хi;
3.гомоскедастичность—дисперсия каждого отклонения
,одинакова для всех значенийх;4.отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков
, распределены независимо друг от друга; 5.остатки подчиняются нормальному распределению.
1. Проверяется случайный характер остатков
,с этой целью строится график зависимости остатков
от теоретических значений результативного признака. Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки
, представляют собой случайные величины и МНК оправдан, теоретические значенияуххорошо аппроксимируют фактические значения y. В других случаях необходимо либо применять другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки
, не будут случайными величинами.
2. Вторая предпосылка МНК относительно нулевой средней величины остатков означает, что
(у —ух)= 0. Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно включаемых переменных. С этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков
от теоретических значений результативного признакаухстроится график зависимости случайных остатков
от факторов, включенных в регрессию хi .Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимы от значений xj.Если же график показывает наличие зависимости
и хjто модель неадекватна. Причины неадекватности могут быть разные.
3. В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактораxjостатки
, имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции. Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остатков
- одинакова для каждого значениях.
4.Отсутствие автокорреляции остатков, т. е. значения остатков
распределены независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии.
№17. СУЩНОСТЬ АНАЛИЗА ОСТАТКОВ ПРИ НАЛИЧИИ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ. КАК МОЖНО ПРОВЕРИТЬ НАЛИЧИЕ ГОМО- ИЛИ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ ОСТАТКОВ. ОЦЕНКА ОТСУТСТВИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ ОСТАТКОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ.
С этой целью строиться график зависимости остатковeiот теоретических значений результативного признака:
Если на графике получена горизонтальная полоса, то остаткиeiпредставляют собой случайные величины и МНК оправдан, теоретические значенияуххорошо аппроксимируют фактические значенияу.
Возможны следующие случаи:еслиeiзависит отуx,то: 1.остаткиeiне случайны.2. остаткиei, не имеют постоянной дисперсии. 3. Остаткиeiносят систематический характерв данном случае отрицательные значенияei, соответствуют низким значениямух,а положительные — высоким значениям. В этих случаях необходимо либо применять другую функцию, либо вводить дополнительную информацию.
Как можно проверить наличие гомо- или гетероскедастичноси остатков?Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остатковeiодинакова для каждого значениях.Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции.а— дисперсия остатков растет по мере увеличениях;б —дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменнойхи уменьшается при минимальных и максимальных значенияхх;в —максимальная дисперсия остатков при
малых значенияххи дисперсия остатков однородна по мере увеличения значенийх.Графики гомо- и гетеро-ти.
Оценка отсутствия автокорреляции остатков(т.е. значения остатковeiраспределены независимо друг от друга). Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Коэффициент корреляции междуeiиej, гдеei— остатки текущих наблюдений,ej— остатки предыдущих наблюдений, может быть определен по обычной формуле линейного коэффициента корреляции
. Если этот коэффициент окажется существенно отличным от нуля, то остатки автокоррелированы и функция плотности вероятности F(e) зависит j-й точки наблюдения и от распределения значений остатков в других точках наблюдения. Для регрессионных моделей по статической информации автокорреляция остатков может быть подсчитана, если наблюдения упорядочены по факторух. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии. Особенно актуально соблюдение данной предпосылки МНК при построении регрессионных моделей по рядам динамики, где ввиду наличия тенденции последующие уровни динамического ряда, как правило, зависят от своих предыдущих уровней.
№18 СМЫСЛ ОБОБЩЕННОГО МНК .
При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный МНК заменять обобщенным методом. Обобщенный МНК применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Обобщенный МНК для корректировки гетерос-ти. В общем виде для уравнения yi=a+bxi+eiпри
где Ki– коэф-т пропор-ти. Модель примет вид: yi=
+
xi+
ei. В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе i-го наблюдения на
.Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной. От регрессии у по х мы перейдем к регрессии на новых переменных:y/
их/
. Уравнение регрессии примет вид:
. По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменныеуихвзяты с весами
. Коэф-т регрессии b можно определить как
Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессииbпредставляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с весами 1/К.Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии. Модель примет вид:
. Модель с преобразованными переменными составит
. Это уравнение не содер-т свобод-го члена, применяя обычный МНК получим:
Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных х/К имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменными.
№19. СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПРОБЛЕМА ИДЕНТИФИКАЦИИ.
Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных уравнений. Различают несколько видов систем уравнений: 1. Система независимых уравнений - когда каждая зависимая переменнаяурассматривается как функция одного и того же набора факторовх:
y1=a11*x1+a12*x2+…+a1m*xm+e1Для решения этой системы и нахождения ее параметров
yn=an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+enиспользуется МНК.
2.Система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменнаяуодного уравнения выступает в виде факторахв другом уравнении:
y1=a11*x1+a12*x2+…+a1m*xm+e1
y2=b21*y1+a21*x1+a22*x2+…+a2m*xm+e2
y3=b31*y1+b32*y2+a31*x1+a32*x2+…+a3m*xm+e3
yn=bn1*y1+bn2*y2+…+bnn-1*yn-1+an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+en
Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется МНК.
3 Система взаимосвязанных уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую.
y1=b12*y2+b13*y3+…+b1n*yn+a11*x1+a12*x2+…+a1m*xm+e1
y2=b21*y1+b23*y3+…+b2n*yn+a21*x1+a22*x2+…+a2m*xm+e2
yn=bn1*y1+bn2*y2+…+bnn-1*yn-1+an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+en
Такая система уравнений называется структурной формой модели. Эндогенные переменные – взаимосвязанные переменные, которые определяются внутри модели (системы) у. Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы х. Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы. Коэффициенты a и b при переменных – структурные коэффициенты модели. Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы - приведенная форма модели.
где
- коэффициенты приведенной формы модели.
Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила:
D+1=H –уравнение идентифицируемо;
D+1 D+1>H – уравнение сверхидентифицируемо.
Где Н – число эндогенных переменных в уравнении, D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.
Достаточное условие идентификации- определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении на равен нулю и ранг этой матрицы не менее эндогенных переменных без единицы. Для решения идентифицируемого уравнения применяется КМНК, для решения сверхидентифицируемых - двухшаговый МНК.
№20 КМНК. Применяется в случае точно идентифицируемой модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов: 1. Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров для каждого ее уравнения обычным МНК. 2. путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.
№21 ДВУХШАГОВЫЙ МНК.(ДМНК)
Основная идея ДМНК — на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной
и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.
Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:
• все уравнения системы сверхидентифицируемы;
• система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.
Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.
Применим ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой
модели:
Данная модель может быть получена из предыдущей идентифицируемой модели:
если наложить ограничения на ее параметры, а именно: b12=a11
В результате первое уравнение стало сверхидентифицируемым:Н=1 (у1),
D=1(х2)иD+1 > Н. Второе уравнение не изменилось и является точно идентифицируемым:Н = 2иD=1
На первом шаге найдем приведенную форму модели, а
именно:
ДМНК является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений.
Несмотря на важность системы эконометрических уравнений, на практике часто не принимают во внимание некоторые взаимосвязи, применение традиционного МНК к одному или нескольким уравнениям также широко распространено в эконометрике. В частности, при построении производственных функций анализ спроса можно вести, используя обычный МНК.
№22 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА. Временной ряд — это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:
• факторы, формирующие тенденцию ряда;
• факторы, формирующие циклические колебания ряда;
• случайные факторы.
При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы.Во-первых,большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. Рис1
Во-вторых,изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года рис2 Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Рис3
В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования от дельного временного ряда — выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.
№23. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА
Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Коэффициент корреляции имеет вид:
можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнямиуtи yt-1и определяется по формуле:
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.
Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции.Во-первых,он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда.
Во-вторых,по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.
№24. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕНДЕНЦИЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА (АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАВНИВАНИЕ ВРЕМЕННОГО РЯДА)
Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.
Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:
• линейный тренд:
• гипербола:,
• экспоненциальный тренд:
• тренд в форме степенной функции:
• парабола второго и более высоких порядков:
Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t=1,2,..., n, а в качестве зависимой перемен- 1 ной — фактические уровни временного ряда yt.Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровниуtиуt-1тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временно м ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.
