Эк. Кибернетика.
Игра – матем. Модель конфликтной ситуации.
Стратегия игрока – это правила выбора действий в сложившейся ситуации.
Решение игры – это нахождение оптимальной стратегии для каждого игрока, т.е. нахождение цены игры.
Оптимальная стратегия игрока – это стратегия, которая в среднем (настрив. на длительную игру) дает игроку возможный наибольший выигрыш.
Неонтогонистическая – если выигрыш одной из сторон склад. из проигрыша др. стороны, иначе антогонистическая – выигрыш одного равен проигрышу др.
Матричные игры.
- самые простые игры. Играют 2 чел. У каж конечное число стратегий. Список стратегий известен каж играющему, т.е. игра с полной инф. Игра одноходовая.
Величина выигрыша известна заранее, опис. В числовых единицах. Оба дейст. Сознательны, никто не поддается. Игра яв-ся антогонистической. Правила определяют победителя.
Игры с седловой точкой обладают св-м устойчивости – если один игрок примен оптим стратегию, то др. игроку не выгодно отклон-ся от своей оптим стратегии.
Первонач сведен по т. вероятности.
Случайные событие – это событие, которое может произойти или не произойти в данной ситуации.
Вероятность – это количественная характеристика, мера появ-я событий.
P(А)=(число благопр. событий)/(общее число событий).
М(х)= е i х i p i–матем. ожидание.
D(x)= е i х 2i p i – ( M(x)) 2 – дисперсия.
s (x)= Ц D(x) – средне квадратичное отклонение– показывает степень разбросанности значений случайной величины относительно матем. ожидания.
Правило 3 сигм (s):
P н M(x)-3 s (x) s (x) э = 0,997
ч Вероятность того, что сличайная величина х попадает в интервал с концами матем. ожидания -3s(х) и +3s(х) равняется 0,997.
Многоуголь. распределение – ломанная линия соед-я последовательно точки с коор-ми (хi;pi).
Смешанные стратегии.
- распределение вероятностей на множестве его чистых стратегий, обобщение обычной стратегии.
Чистая стратегия – это стратегия, которая применяется с вероятностью 1.
Теорема Неймана: Любая матричная игра имеет оптимальное решение возможно среди смешанных стратегий.
Стратегия А i активная первого игрока – если вероятность исполь-я в оптим стратегии больше нуля (Аi-акт, если р*i>0); S*A- оптим стратегия.
Стратегия В j активная второго игрока – если вероятность исполь-я ее в опти стратегии больше нуля (Bi-акт, если q*i>0); S*B- оптим стратегия.
Неактивная стратегия – вероятность применения, которой в оптим стратегии равна нулю.
Теорема устойчивости:Если один игрок применяет свою оптим стратегию, то 2 игроку не выгодно выходить за рамки своих активных стратегий.
Теорема:В матр. игре количество активных стратегий у каж игрока одинаковое.
Применение решений в усл. неопределенности.
Рассмотрим игру человек и природа.Человек –лицо принимающее решение.Природа– экон-я среда в состоянии рынка.
Отличия от матричной игры:Активные решения принимает только чел, он хочет найти наиболее оптим решение. У природы стихийное поведение и она не стремится к выигрышу. Считается, что чел знает список сост природы, но не знает какое из них будет фактическим. В игре с природой чел труднее сделать свой выбор, поэтому сущ несколько подходов нахождения оптимального решения.
Подход определяется склонностью чел к риску.
Риск – это может быть упущенная выгода или необход понести дополнит произв-е затраты.
Элементы матрицы – это ожидание резуль. Деятельности в завис от сост природы.
1) Подход махмах “оптимистический”: В каж точке мы находим макс элемент и после этого находим макс из полученных чисел.gi=maxjaijЮg=maxigi=gi0Ювыб Аi0.
Выбираем макс значение. Чел ориентир на самый лучший возмож результат, не обращ внимание на возмож неудачи.
2) Критерий Вальда – критерий пессимизма: Находим в каж строчке миним элемент и выбираем ту стратегию, которая дает макс гарантируемый доход.
ai=minjaijЮa=maxiai=aiЮвыб Аi0.
3)Критерий Гурвица ( l ) – ур пессимизма: Человек выбирает 0ЈlЈ1. Находим числоai=lai+(1-l)giЮamaxiai=ai0Ювыб Аi0. Еслиl=1 – кр Вальда (пессимизма), еслиl=0 – кр оптимизма. Конкретная величинаlопред-ся эк-ой ситуацией.
4) Критерий Сэвиджа – кр минимального риска: Состав март риска по формулеrij=bj-аij.bij=max aijЮrij=bj-aij.
R=(rij) –матр риска; ri=maxjrijЮminiri=ri0Ювыб Аi0.
Если бы мы знали, то мы бы выбрали наиболее эф-е решение. Для самого эф-го решения: rij=0 (если Пj)ЮАi. Риск = величине упущенной возможности.
У каж критерия есть свои особенности применения. Если мы оценив ситуацию по разным критериям, то мы можем принять более обоснован решение. Трудность обоснования яв-ся, что природа не стремится к выигрышу.
Принятие решения в усл риска.
Рассотрим вариант игры чел и природы в случаи, когда нам известно сост природы. Природа к выигрышу не стремится. Находим стратегию, которая приносит макс средний доход. Средний доход расчитывается по правилу теории вероятности.
Величина среднего дохода равна матем ожиданию при этой стратегии.
1) М(Ai)=nеj=1aijpjНаходим макс maxiM(Ai)
2) Правило минималь среднего риска. R=(Ai)=nеj=1rijpj. Находим наимень miniR(Ai).
Лемма:Указ выше 2 критерия в результате всегда приводят к выбору одной и той же оптим стратегии.
Док-во: Найдем миним сред риска miniR(Ai)= miniеjrijpj= mini(еj(bj-аij)pj)= mini(еjbjpj-еjаijpj)={еjbjpj– не зависит от переменной i, значит это const С}= mini(С-еjаijpj)Юминимум разности соот-ет максимуму вычитаемого.
maxiеjаijpj=M(Ai).
Номера стратегий, на которых достиг миним среднего риска, равны номерам стратегий обеспеч наиболь средний выигрыш.
Бейссовский подход нахождения оптимального решения.
Бейсовский подход: Если первонач распредел вероятности мы получ доход`Q`. Если мы можем провести эксперемент дающий новое распред вероятности в завис от первонач`Q`и нового`Q’ , мы делаем свой выбор стратегии. p'Ю`Q’`.
Некоторые св-ва матричной игры.
Замеч№1 О масштабе игр:Пусть даны 2 игры одинаковой размерности с платежной матрицей р(1)и р(2). При чем при любых i и j выпол (а(2)ij=aa(1)ij+b), некоторые числаaиb. Тогда: 1) опт стратегии 1 игрока в 1 и 2 игре одинаковые. Опт стратегии 2 игрока одинаковы в обеих играх.
2) Цена второй игры V2=aV1+b.
Для некот методов решений все элементы матр должны быть не отрицательными.
Заме№2 О доминировании стратегий:Этот прием применяется для умень размерности игры.
А: Аiдоминирует над Ак(Аi>Ак), если для любого j выпол нерав-во аij>akjи хотя бы одно из этих нерав-в строгое.
Ак– заведомо невыгодна; сред размер выигрыша меньше; р*к=0, стратегия пассивная.
В: Вjдоминирует над Вt(Вj>Вt), если для любого i выпол нерав-во аij>aitи хотя бы одно из этих нерав-в строгое.
Bt– невыгоднаЮq*t=0 – актив стратегия.
Доминир стратегии вычеркиваются и получ матр меньшей размерностью.
Замеч№3 Сравнение операций по методу Парето:Допустим есть операции Q1, Q2,… Qn. Для каж опер-и расчит 2 параметра: 1) E(Q) – эффективность (доход);
2) r(Q) – степень риска (s-сред квадратич отклон).
Самая лучшая операция – это опер с наилуч эф-ю и с наимень риском. F(Q)= k E(Q)-r(Q), гдеk- это склонность к риску (не мат проблема). Находим макс из этих критериев maxiF(Qi). Операция Qi>Q,если эф-ть не менее E(Qi)іE(Qj), а риск опер r(Qi)Јr(Qj) и хотя бы одно из нерав-в строгое.
Доминир страт отбрас, как заведомо невыгодные.
Множ Парето – это все недоминир-е операции. Наиболее эф-е среди них.
Понятие о позиционных игр.
У каж игрока своя платежная матрица. Выигрыш одного не означ проигр др. Таким способом можно высчитывать взаимные интересы игроков, а также возможность образования коалиции. Можно расчит динамические игры учитывая фактор времени и т.д.
Позиционные игры – возникает в случаи, когда надо принимать последо-но несколько решений, при чем выбор решения опираются на предыдущ-е решения.
Рассотрим простейш случ позиц-й игры с природой. Решение изобр в виде дерева решений.
Дерево решений – граф-е изобр-е всех возможных альтернатив игрока и сост природы с указ вероятности соответ-х состояний и размеров выигрыша в каж ситуации.
Альтернатива игрока изобр квадратом – список возможных стратегий в соот-й ситуации. Сост-е природы кружочком, чел на них влиять не может. Делается оценка каж вершины и наход макс оценка ситуаций соот-х каж ветви дерева решений.
EMV – денежное решение; EMV= е i (отдача в i-ом сост-и)p i
max вершина (EMV)=?
Страница: 1 из 1
<-- предыдущая следующая -->
| Перейти на страницу:
скачать реферат | 1
|
