Содержание
Введение 2
1. Обобщенная модель управления запасами 3
2. Типы моделей управления запасами 5
3. Детерминированные модели 8
3.1. Однопродуктовая статическая модель 9
3.2. Однопродуктовая статическая модель с «разрывами» цен 13
3.3. Многопродуктовая статическая модель с ограничениями складских помещений 15
3.4. Однопродуктовая N -этапная динамическая модель 17
3.4.1. Частный случай убывающих или постоянных предельных затрат19
4. Заключение 21
Введение
Задача управления запасами возникает, когда необходимо создать запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени (конечном или бесконечном). Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов. В любой задаче управления запасами требуется определять количество заказываемой продукции и сроки размещения заказа. Спрос можно удовлетворить путём однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая соответствую избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени).
При избыточном запасе требуется более высокие удельные (отнесённые к единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает раже и частота размещения заказов меньше. С другой стороны, при недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастает. Для любого из указанных крайних случаев характерны значительные экономические потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации соответствующей функции общих затрат, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита.
1. Обобщенная модель управления запасами
Любая модель управления запасами, в конечном счете, должна дать ответ на два вопроса:
1. Какое количество продукции заказывать?
2. Когда заказывать?
Ответ на первый вопрос выражается через размер заказа , определяющего оптимальное количество ресурсов, которое необходимо поставлять каждый раз, когда происходит размещение заказа. В зависимости от рассматриваемой ситуации размер заказа может меняться во времени. Ответ на второй вопрос зависит от типа системы управления запасами. Если система предусматривает периодический контроль состояния запаса через равные промежутки времени (например, еженедельно или ежемесячно), момент поступления нового заказа обычно совпадает с началом каждого интервала времени. Если же в системе предусмотрен непрерывный контроль состояние запаса, точка заказа обычно определяетсяуровнем запаса, при котором необходимо размещать новый заказ.
Таким образом, решение обобщённой задачи управления запасами определяется следующим образом;
1. Вслучае периодического контроля состояния запасаследует обеспечивать поставку нового количества ресурсов в объемеразмера заказачерез равные интервалы времени.
2. Вслучае непрерывного контроля состояния запасанеобходимо размещать новый заказ в размереобъема запаса, когда его уровень достигаетточки заказа.
Размер и точка заказа обычно определяются из условий минимизации суммарных затрат системы управления запасами, которые можно выразить в виде функции этих двух переменных. Суммарные затраты системы управления запасами выражаются в виде функции их основных компонент следующим образом:
Затраты на приобретение становятся важным фактором , когда цена единицы продукции зависит от размера заказа, что обычно выражается в виде оптовых скидок в тех случаях, когда цена единицы продукции убывает с возрастанием размера заказа. Затраты на оформление заказа представляют собой постоянные расходы, связанные с его размещением. Таким образом, при удовлетворении спроса в течение заданного периода времени путем размещения более мелких заказов (более часто) затраты возрастают по сравнению со случаем, когда спрос удовлетворяется посредством более крупных заказов (и, следовательно реже). Затраты на хранение запаса , которые представляют собой расходы на содержание запаса на складе (например, процент на инвестированный капитал, затраты на переработку, амортизационные расходы и эксплутационные расходы), обычно возрастают с увеличением уровня запаса. Наконец, потеря дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции. Обычно они связаны с ухудшением репутации поставщика у потребителя и с потенциальными потерями прибыли.
Рисунок 1 иллюстрирует зависимость четырёх компонент затрат обобщенной модели управления запасами от уровня запаса. Оптимальный уровень запаса соответствует минимуму суммарных затрат. Отметим, что модель управления запасами не обязательно должна включать все четыре вида затрат, так как некоторые из них могут быть не значительными, а иногда учёт всех видов затрат чрезмерно усложняет функцию суммарных затрат. На практике какую – либо компоненту затрат можно не учитывать при условии, что она не составляет существенную часть общих затрат. Этот фактор необходимо иметь ввиду при изучении различных моделей, описанных в данной главе.
Рисунок 1.
2. Типы моделей управления запасами
Обобщенная модель управления запасами, описанная выше выглядит довольно простой. Чем же тогда объясняется столь большое разнообразие моделей этого класса и методов решения соответствующих задач, базирующихся на различном математическом аппарате: от простых схем дифференциального и интегрального исчисления до сложных алгоритмов динамического и других видов математического программирования? Ответ на этот вопрос определяется характером спроса, который может быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным (задаваемым плотностью вероятности). На рисунке 2 приведена схема классификации спроса, обычно принимаемая в моделях управления запасами. Детерминированный спрос может быть статическим , в том смысле, что интенсивность потребления остаётся неизменной во времени, или динамическим , когда спрос известен достоверно, но изменяется в зависимости от времени. Вероятностный спрос может быть стационарным , когда функция плотности вероятности спроса неизменна во времени, и не стационарным , когда функция плотности вероятности спроса изменяется во времени.
В реальных условиях случай детерминированного статистического спроса встречается редко. Такой случай можно рассматривать как простейший. Так, например, хотя спрос на такие продукты массового потребления, как хлеб, может меняться от одного дня к другому, эти изменения могут быть столь незначительными, что предположение статичности спроса несущественно искажает действительность.
Рисунок 2.
Наиболее точно характер спроса может быть, возможно, описан посредствомвероятностных нестационарныхраспределений. Однако с математической точки зрения модель значительно усложняется, особенно при увеличении рассматриваемого периода времени. Рисунок 2 иллюстрируют возрастание математической сложности модели управления запасами при переходе от детерминированного статического спроса к вероятностному стационарному спросу. По существу, классификацию рисунка 2 можно считать представлением различныхуровней абстракцииописания спроса.
На первом уровне предполагается, что распределение вероятности спроса стационарно во времени. Это означает, что для описания спроса в течение всех исследуемых периодов времени используется одна и та же функция распределения вероятностей. При таком предположении влияние сезонных колебаний спроса в модели не учитывается.
На втором уровне абстракции учитывается изменение спроса от одного периода к другому. Однако при этом функции распределения не меняются, а потребности в каждом периоде описываются средней величиной спроса. Это упрощение означает, что элемент риска в управлении запасами не учитывается. Однако оно позволяет исследовать сезонные колебания спроса, которые вследствие аналитических и вычислительных трудностей нельзя учесть вероятностной модели. Другими словами, здесь возникает определенный компромисс: можно использовать, с одной стороны, стационарные распределения вероятностей, а с другой – переменную, но известную функцию спроса при допущении «определённости».
На третьем уровне упрощения исключаются как элементы риска, так и изменения спроса. Тем самым спрос в течение любого периода предполагается равным среднему значению известного (по предположению) спроса по всем рассматриваемым периодам. В результате этого упрощения спрос можно оценить егопостояннойинтенсивностью.
Хотя характер спроса является одним из основных факторов при построении модели управления запасами, имеются другие факторы, влияющие на выбор типа модели. К их числу относятся:
1. Запаздывание поставок или сроки выполнения заказов. После размещения заказов он может быть поставлен немедленно или потребуется некоторое время на его выполнение. Интервал времени между моментом размещения заказа и иго поставкой называется запаздыванием поставки, или сроком выполнения заказа. Эта величина может быть детерминированной или случайной.
2. Пополнение запаса. Хотя система управления запасами может функционировать при запаздывании поставок, процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно или равномерно во времени. Мгновенное пополнение запаса может происходить при условии, когда заказы поступают от внешнего источника. Равномерное пополнение может быть тогда, когда запасаемая продукция производится сомой организацией. В общем случае система может функционировать при положительном запаздывании поставки и равномерном пополнении запаса.
3. Период времениопределяет интервал, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса. В зависимости от отрезка времени, на котором можно надёжно прогнозировать рассматриваемый период принимается конечным или бесконечным.
4. Число пунктов накопления запаса.В систему управления запасами может входить несколько пунктов хранения запаса. В некоторых случаях эти пункты организованны таким образом, что один выступает в качестве поставщика для другого. Эта схема иногда реализуется на различных уровнях, так что пункт – потребитель одного уровня может стать пунктом – поставщиком на другом. В таком случае принято говорить о системе управления запасами с разветвленной структурой.
5. Число видов продукции.В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции. Это фактор учитывается при условии наличия некоторой зависимости между различными видами продукции. Так, для различных изделий может использоваться одно и то же складское помещение или же их производство может осуществляться при ограничениях на общие производственные фонды.
3. Детерминированные модели
Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить достаточно универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Представление в этом разделе модели соответствуют некоторым системам запасами. Маловероятно, что эти модели могут точно подойти для реальных условий, однако они приведены с целью различных подходов к решению некоторых конкретных задач управления запасами.
В этом разделе обсуждается пять моделей. Большинство из них однопродуктовые, и только в одной из них учитывается влияние нескольких «конкурирующих» видов продукции. Основное различие между моделями определяется допущением о характера спроса (статический или динамический). Важным фактором с точки зрения формулировки и решения задачи является также вид функции затрат. Используются различные методы решения, включающие классическую схему оптимизации, линейное и динамическое программирование. Эти примеры наглядно показывают, что при решении задач управления запасами следует применять различные методы оптимизации.
3.1. Однопродуктовая статическая модель
Модель управления запасами простейшего типа характеризуются постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита. Такую модель можно применять в следующих типичных ситуациях:
1. Использование осветительных ламп в здании;
2. Использование таких канцелярских товаров, как бумага, блокноты и карандаши, крупной фирмой;
3. Использование некоторых промышленных изделий, таких, как гайки и болты;
4. Потребление основных продуктов питания (например, хлеба и молока).
На рисунке 3 показано изменение уровня запаса во времени. Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу времени) равнаb.Наивысшего уровня запас достигается в момент поставки заказа размерому(предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой.) Уровень запаса достигает нуля спустяу/bединиц времени после получения заказа размерому.
Рисунок 3
Чем меньше размер заказау, тем чаще нужно размещать новые заказы. С другой стороны, с увеличением размера заказа уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже (рисунок 4). Так как затраты зависят от частоты размещения заказов и объема хранимого запаса, то величина у выбирается из условия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат. Это лежит в основепостроения соответствующей модели управления запасами.
Рисунок 4.
ПустьК– затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении и предположении, что затраты на хранение единицы заказа вединицу времениравныhследовательно, суммарные затраты вединицу времениTCU(y)как функцию отуможно представить в виде:
TCU(y)= Затраты на оформление заказа в единицу времени
+ Затраты на хранение запасов в единицу времени =
=
.
Как видно из рисунка 3, продолжительность цикла движения заказа составляетt0=y/bи средний уровень запаса равенy/2.
Оптимальное значениеуполучается в результате минимизацииTCU(y)поу. Таким образов, в предположении, чтоу– непрерывная переменная, имеем:
,
откуда оптимальное значение размера заказа определяется выражением:
.
(Можно доказать, чтоy*доставляет минимумTCU(y), показав, что вторая производная в точкеу*строго положительна). Полученное выше выражение для размера заказа обычно называют формулой экономичного размера заказа Уилсона .
Оптимальная стратегия модели предусматривает заказу*единиц продукции через каждыеt0*=y*/bединиц времени. Оптимальные затратыTCU(y*), полученные путем непосредственной подстановки составляют
.
Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок выполнения заказа (временное запаздывание)Lот момента размещения заказа до его действительной поставки. Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна определять точку возобновления заказа . Рисунок 5 иллюстрирует случай, когда точка возобновления заказа должна опережать наLединиц времени ожидаемую поставку. В практических целях эту информацию можно просто преобразовать, определивточку возобновления заказачерезуровень запаса, соответствующий моменту возобновления заказа. На практике это реализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достижения очередной очки возобновления заказа. Возможно, по этой причине модель экономичного размера заказа иногда называют моделью непрерывного контроля состояния заказа . Следует заметить, что с точки зрения анализа в условиях стабилизации системы срок выполнения заказаLможно всегда принять меньше продолжительности циклаt0*.
Рисунок 5
Принятые в рассмотренной выше модели допущения могут не соответствовать некоторым реальным условиям в следствие вероятстного характера спроса. На практике получил распространение приближенный метод, сохраняющий простоту модели экономичного размера заказа и в то же время в какой-то мере учитывающий вероятностный характер спроса. Идея метода чрезвычайно проста. Она предусматривает создание некоторого (постоянного) буферного запаса навсем горизонте планирования. Размер резерва определяется таким образом, чтобы вероятность истощения запаса в течениепериоды выполнения заказа Lне превышало наперед заданной величины. Предположим, чтоf(x)– плотность распределения вероятностей спроса в течениеэтого срока. Далее предположим, что вероятность истощения запаса в течение периодаLне должна превышатьa. Тогда размер резервного запасаBопределяется из условия:
, гдеLbпредставляет собой потребление в течение времениL.Изменение запаса при наличии резерва показано на рисунке 6.
Рисунок 6
3.2. Однопродуктовая статическая модель с «разрывами» цен
В моделях предыдущего полраздела не учитывается удельные затраты на приобретение товара, т.к. они постоянны и не влияют на уровень запаса. Однако не редко цена единицы продукции зависит от размера закупаемой партии. В таких случаях цены меняются скачкообразно или предоставляются оптовые скидки. При этом в модели управления запасами необходимо учитывать затраты на приобретение.
Рассмотрим модель управления запасами с мгновенным пополнением запаса при отсутствии дефицита. Предположим, что цена единицы продукции равнас1приy=q, гдес1>c2и q – размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка. Тогда суммарные затраты за цикл помимо издержек оформления заказа и хранения запаса должны включать издержки приобретения.
Суммарные затраты наединицу времениприy .
Приy>=qэти затраты составляют
.
Графики этих двух функций приведены на рисунке 7. Пренебрегая влиянием снижения цен, обозначим черезymразмер заказа, при котором достигается минимум величинTCU1иTCU2. Тогда
. Из вида функции затратTCU1иTCU2, приведенных рисунке 7 следует, что оптимальный размер заказаy*зависит от того, где по отношению к трем показанным на рисунке зонам I, II и III находится точка разрыва ценыq. Эти зоны находятся в результате определенияq1(>ym)из уравненияTCU1(ym)=TCU2(q1).
Рисунок 7
Так как значениеymизвестно (=
), то решение уравнения дает значение величиныq1. Тогда зоны определяются следующим образом:
Зона I: 0<=q Зона II:ym<=q Зона III:q>=q1.
На рисунке 8 приведено графическое решение уравнения для рассматриваемого случая, зависящее от того, где находитсяqпо отношению к зонам I, II и III. В результате оптимальный размер заказаy*определяется следующим образом:
Алгоритм определенияy*можно представить в следующем виде:
1. Определитьym=
. Еслиq 2. Определитьq1из уравненияTCU1(ym)=TCU2(q1)и установить, где по отношению к зонам II и III находится значениеq.
а. Еслиym<=q<=q1(зона II), тоy*=q.
б. Еслиq>=q1(зона III), тоy*=ym.
Рисунок 8
3.3. Многопродуктовая статическая модель с ограничениями складских помещений
Эта модель предназначена для систем управления запасами, включающиеn(>1)видов продукции, которая хранится на одном складе ограниченной площади. Данное условие определяет взаимосвязь между различными видами продукции может быть включено в модель как ограничение.
ПустьА– максимально допустимая площадь складского помещения дляnвидов продукции; предположим, что площадь, необходимая для хранения единицы продукцииi-го вида, то ограничение на потребность в складском помещении принимают вид
.
Допустим, что запас продукции каждого вида пополняется мгновенно и скидки цен отсутствуют. Предположим далее, что дефицит не допускается. Пустьbi, Kiиhi– интенсивность спроса, затраты на оформление заказа и затраты на хранение единицы продукции в единицу времени дляi-го вида продукции соответственно. Общие затраты по продукции каждого вида, по существу, будут теми же, что и в случае эквивалентной однопродуктовой модели. Таким образом, рассматриваемая задача имеет вид минимизировать
при
для всехi.
Общее решение этой задачи находится методом множителей Лагранжа. Однако, прежде чем применять этот метод, необходимо установить, действуют ли указанное ограничение, проверив выполнимость ограничений на площадь склада для решения
неограниченной задачи. Если ограничение выполняется, то оно избыточно, и им можно пренебречь.
Ограничение действует, если оно не выполняется для значений
. В таком случае нужно найти новое оптимальное значениеyi, удовлетворяющее ограничению на площадь склада ввиде равенства. Этот результат достигается построением функции Лагранжа вида
, гдеl( Оптимальные значенияyiиlможно найти, приравняв нулю соответствующие частные производные, что дает
,
.
Из второго уравнения следует, что значение
должно удовлетворять ограничению на площадь склада в виде равенства. Из первого уравнения следует, что
.
Заметим, что
зависит от оптимального значенияl*множителяl. Кроме того, приl*=0 значение
является решением задачи без ограничения.
Значениеl*можно найти методом систематических проб и ошибок. Так как по определению в поставленной выше задаче минимизацииl
3.4. Однопродуктовая N -этапная динамическая модель
В этой модели предполагается, что, хотя спрос достоверно известен, он может изменяться от этапа к этапу. Уровень запаса контролируетсяпериодически. Хотя запаздывание поставки (выраженное фиксированным числом периодов) допустима, в модели предполагается, что пополнение запаса происходит мгновенно в начале этапа. Наконец, дефицит не допускается.
Построение динамической детерминированной модели сводится к конечному горизонту времени. Это объясняется тем, что для получения числового решения соответствующих задач требуется использование метода динамического программирования, который вданном случаеможно практически применять только при конечном числе этапов (шагов). Однако это не является серьёзным препятствием, т.к. спрос в отдалённом будущем обычно не оказывает существенное влияние на решение, принимаемое для рассматриваемого конечного горизонта времени. Кроме того, как правило, не имеет смысла предполагать, что продукция будет храниться в запасе бесконечно.
