1

6

4

5

(2)

где

(3)

При расчете премии параметрв СДУ задается по-разному в зависимости от типа базисного актива:
·=rдля опционов на акции, не выплачивающие дивиденды;
·=r-qдля опционов на акции, выплачивающие дивиденды с заданной непрерывной ставкой q ;
·=r-rfдля валютного опциона, причем r - безрисковая ставка процента в валюте торговли, r f- в базисной валюте;
·=r-qдля опционов на акционные индексы, где q - осредненная ставка дивидендов, которые выплачиваются по включенным в индекс акциям в течение срока опционного контракта;
·=0для опционов на фьючерсные контракты, причем здесь S t- текущая фьючерсная цена;
·=r-qдля облигационных опционов, где q - приведенная купонная процентная ставка, а S t- текущая цена базисной облигации.
Фактически, выбор значений параметровиявляется составной частью процедуры задания будущего гипотетического поведения цены базисного актива при расчете премии опциона.

На начало
Формулы для расчета премии опциона методом Монте-Карло
Основной вычислительной задачей, обычно решаемой методом Монте-Карло, является задача оценки среднего значения некоторой случайной величины. Применительно к расчету премии опциона купли европейского стиля метод Монте-Карло сводится к оценке математического ожидания

(4)

В данной записи величина e -rT (S T -K) +является дисконтированным выигрышем держателя опциона, а в качестве премии выступает средний дисконтированный выигрыш. В формуле (4) вместо стандартного выигрыша (S T -K) +может использоваться любой нестандартный выигрыш F(S T ,K) 0 .
Премия опциона купли американского стиля может быть вычислена как

(5)

а опциона продажи как

(6)

В отличие от формулы Блэка-Сколеса, при использовании метода Монте-Карло для расчета премии опционов по формулам (4)-(6) нет жесткой привязки к линейному СДУ с мультипликативным шумом. В качестве математической модели цены конкретного базисного актива S tможет использоваться любое из исследованных ранее СДУ, дающее оценки премии, более походящие при торговле конкретным опционным контрактом на конкретной бирже.
Для расчета премии опционов американского стиля необходимо построить на интервале моделирования [0, T ] равномерную сетку, оценить стандартным образом дисконтированный средний выигрышиливо всех узлах сетки и в качестве премии принять максимальное значение сеточной функции { P t}. Премия опциона европейского стиля совпадает с P T, а значит, она не может превышать премию соответствующего опциона американского стиля. Заметим, что величина P 0совпадает с внутренней стоимостью опциона.
Принятие решения, какая модель расчета премии лучше подходит для реальной торговли конкретными опционами на конкретной бирже, связано с большими предварительными расчетами и сравнениями, и в основном опирается на накопленный опыт, а не на статистические критерии проверки гипотез.
Хеджирующая стратегия
Рассуждения о справедливой стоимости опциона основываются на предположении, что подписчик опциона за весь срок контракта будет использовать хеджирующую стратегию, обеспечивающую ему гарантированный выигрыш или хотя бы отсутствие проигрыша при исполнении опциона держателем. На момент подписания в распоряжении подписчика опциона купли находится портфель из наличных и акций, общая стоимость которого совпадает с размером полученной премии Pr call. Подписчик наличные может положить в банк под безрисковый процент r , а также может изменять соотношение между количеством наличных и акций путем покупки или продажи акций. Таким образом, стоимость портфеля подписчика изменяется во времени в соответствии с формулой

(7)

где коэффициентопределяет сумму стоимостей на банковском счете на момент времени t , а коэффициент хеджа определяет сумму в акциях. В данном способе формирования портфеля нет ограничений на возможные значения коэффициентови, т.е. допускается занятие в долг. Коэффициент хеджав формуле (7) выступает в качестве меры корреляции между стоимостью хеджирующего портфеля и ценой базисного актива в любой момент действия опционного контракта. Под минимальным хеджем понимается хеджирующая стратегия, обеспечивающая гарантированные опционные платежи при минимальной премии.
Для опциона купли европейского стиля на акции без выплаты дивидендов Блэк и Сколес получили формулы для коэффициентовидля минимального хеджа:

		(8)
		(9)

Формулы получены исходя из предположения, что в любой момент времени t стоимость портфеля X tсовпадает со справедливой стоимостью опциона на текущий момент времени при известной текущей стоимости базисной акции S t. Для опциона купли американского стиля стоимость минимального хеджирующего портфеля в любой момент времени может быть определена как условное математическое ожидание

(10)

а для опциона продажи как

(11)

Расчет коэффициентов чувствительности премии к изменениям параметров
На рынке наблюдаются постоянные изменения цены базисного актива опциона. В результате соответственно изменяется стоимость опциона. Коэффициент "дельта" представляет собой отношение изменения стоимости опциона, вызванное изменением цены базисного актива, к изменению цены актива: