На покупку	На продажу
Падающий рынок
Растущий рынок

На западных рынках значенияa,b,R2регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются вместе с индексами. Пользуясь этой информацией, инвестор может сформировать собственный портфель ценных бумаг. На российском рынке профессионалы постепенно тоже начинают использоватьa-,b-,R2-анализ.
1.7 Модель Тобина с безрисковым активом
В отличии от моделей Марковица и Блека, которые связаны с выбором класса допустимых портфелей, модель Тобина в большей степени относится к структуре рынка, нежели к структуре допустимых портфелей. В этой модели предполагается существование безрискового актива, доходность которого не зависит от состояния рынка и всегда имеет одно и то же значение. Поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует, то стандартное отклонение для этого актива равно нулю. Это означает, что корреляция между ставкой доходности по безрисковому активу и ставкой доходности по любому рисковому активу равна нулю.
Дж. Тобин показал, что еслиQ= (pi, …,pn) – некоторый портфель (pi– доляi-го актива в портфеле), аf– безрисковый актив, то все портфели вида
(25)
лежат на прямой, проходящей через точки (0,rf) и (sp,rp), гдеrfиrp– безрисковая и рисковая доходности соответственно. Среди всех таких прямых нужно выбрать самую крутую (более крутая дает большую доходность при заданном риске), т.е. ту, которая проходит через точку (0,rp) и точку касанияTк эффективной границе (рисунок 2.5).
Рисунок 2.5 – Достижимое и эффективное множества при возможности безрискового кредитования.
Множество достижимости существенно изменяется в результате рассмотрения безрискового кредитования. Две границы являются прямыми линиями, выходящими из точки, соответствующей безрисковому активу Нижняя линия соединяет две точки, соответствующие безрисковому активу и портфелю с набольшим риском и доходностью. Поэтому она представляет портфели, являющееся комбинациями этого портфеля и безрискового актива.
Другая прямая линия, выходящая из точки, соответствующей безрисковому активу, представляет комбинации безрискового актива и определенного рискованного портфеля из эффективного множества модели Марковица. Эта линия является касательной к данному эффективному множеству (в точке, обозначеннойT).
Хотя и другие рискованные эффективные портфели из модели Марковица могут быть скомбинированы с безрисковым активом, портфельTзаслуживает особого внимания. Потому что не существует портфеля, состоящего из рискованных ценных бумаг, который, будучи соединен прямой линией с точкой, соответствующей безрисковому активу, лежал бы левее и выше его. Другими словами, из всех линий, которые могут быть проведены из точки, соответствующей безрисковому активу, и соединяют эту точку с рискованным активом или рискованным портфелем, ни одна не имеет больший наклон, чем линия, идущая в точкуТ.
Это важно потому, что часть эффективного множества модели Марковица отсекается этой линией. В частности, портфели, которые принадлежали эффективному множеству в модели Марковица и располагались между минимально рискованным портфелем, обозначенным черезV, и портфелемТ, с введением возможности инвестирования в безрисковые активы не являются эффективными. Теперь эффективное множество состоит из прямого и искривленного отрезка. Прямой отрезок идет от безрискового актива в точкуТи поэтому представляет портфели, составленные из различных комбинаций безрискового актива и портфеляТ. Искривленный отрезок расположен выше и правее точкиTпредставляет портфели из эффективного множества модели Марковица.
Анализ может быть расширен за счет введения возможности заимствования. Это означает, что теперь инвестор не ограничен своим начальным капиталом при принятии решения о том, сколько денег инвестировать в рискованные активы. Однако если инвестор занимает деньги, то он должен платить процент по займу. Если процентная ставка известна и неопределенность с выплатой займа отсутствует, то это часто называется безрисковым заимствованием.
Предполагается, что процентная ставка по займу равна ставке, которая может быть заработана инвестированием в безрисковые активы.
Рисунок 2.6 изображает, как изменяется допустимое множество, если введена возможность как предоставления, так и получения займа по одной и той же безрисковой процентной ставке. Множество достижимости представлено областью, расположенной между двумя лучами, выходящими из точки, соответствующей безрисковой ставке, и проходящими через точки, соответствующие наиболее доходному портфелю и портфелю, обозначенному черезТ. Эти два луча уходят в бесконечность при условии, что нет ограничений на величину получаемого займа.
Рисунок 2.6 – Достижимое и эффективное множества в случае возможности безрискового заимствования и кредитования.
Луч, идущий через портфельТ, является особенно важным, поскольку он представляет эффективное множество. Как и прежде, линия, идущая черезT, является касательной к эффективному множеству модели Марковица. Кроме портфеляTни один из портфелей, которые находились в эффективном множестве модели Марковица, не является эффективным после введения возможности предоставления и получения безрисковых займов.
В модели оценки финансовых активов новую эффективную границу, полученную с учетом безрискового актив, называют рыночной линией (Capital Market Line, CML), а портфельТ– рыночным портфелем.
2.1.1 Алгоритм Элтона-Грубера-Падберга
При определении структуры касательного портфеляТв модели с безрисковым активом можно также воспользоваться методом критических линий, как и в модели Марковица. Но имеется и другой метод определения структуры этого портфеля, который не требует определения «угловых» портфелей и, следовательно, является более простым.
Предполагается, что доходности ценной бумаги могут быть описаны рыночной моделью (индексной моделью Шарпа), а также, что существует возможность безрискового заимствования и кредитования по ставкеrf. Метод разработан Элтоном, Грубером и Падбергом.
Алгоритм начинается с замечания, что наклон линии, выходящей из точкиrfи проходящей через любой конкретный портфель равен:
. (26)
«Касательный» портфельТопределяется как имеющий максимальную тхэту (Q). Для поиска портфеля, имеющего максимальнуюQ, применяется следующий пятишаговый алгоритм:
1. Упорядочить ценные бумаги в порядке убывания отношений доходности к систематическому риску (reward-to-volatility ratio):
, (27)
гдеri– ожидаемая доходностьi-й ценной бумаги;
rf– безрисковая ставка;
biI– коэффициент «бета».
Числитель этого выражения представляет собой ожидаемое «вознаграждение» за приобретение ценной бумаги, а знаменателем является соответствующий ейb-коэффициент. Это отношение иногда называют отношением Трейнора.
2. Начиная с ценной бумаги, имеющей наибольшееRVOLi, добавлять ценные бумаги одну за другой и вычислятьFi:
, (28)
гдеs2I– систематический риск – дисперсия рыночного индекса;
s2eI– несистематический риск – дисперсия случайной ошибки.
3. Сравнивать величиныFiс соответствующимиRVOLiдо тех пор, покаFiменьшеRVOLi. С некоторого момента это соотношение изменится на противоположное. Пустьk– максимальный номер, для которого это соотношение еще не выполнено. Тогда ценные бумаги с 1 поkбудут иметь не нулевые веса в портфелеТ, а остальные – нулевые. Таким образом,Fkявляется «ставкой отсечения» дляRVOL.
4. Вычислить величиныZi, чтобы определить, с какими весами будут входить в портфель первыеkценных бумаг:
. (29)
ЗначенияZiдляi=k+ 1, ...,Nполагаются равными нулю.
5. Разделить каждуюZiна суммуZiдля получения весов для ценной бумаги:
(30)
Это сделать необходимо, так как суммаZiобычно не равна единиц.
Полученные значенияXiи являются долями ценных бумаг в портфелеТ.
1.8 Модель оценки финансовых активов
Некоторые из предположений, на которых основывается модель оценки финансовых активов (Capital Asset Prising Model, CAPM), совпадают с предположениями нормативного подхода к инвестированию, описанного в предыдущих разделах. Эти предположения дополняются следующими:
1. Для всех инвесторов период вложения одинаков.
2. Безрисковая процентная ставка одинакова для всех инвесторов.
3. Информация свободно и незамедлительно доступна для всех инвесторов.
4. Инвесторы имеют однородные ожидания, т.е. они одинаково оценивают ожидаемые доходности, среднеквадратичные отклонения и ковариации доходностей ценных бумаг.
Как вытекает из этих предположений, в модели оценки финансовых активов рассматривается предельный случай. Все инвесторы обладают одной и той же информацией и по-одинаковому оценивают перспективы ценных бумаг. Неявно это означает, что они одинаковым образом анализируют получаемую информацию. Рынки ценных бумаг являются совершенными рынками в том смысле, что в них нет факторов, которые бы препятствовали инвестициям. Это позволяет сместить фокус рассмотрения с того, как следует инвестору размещать свои средства, на то, что произойдет с курсами ценных бумаг, если все инвесторы будут поступать одинаково. Исследуя коллективное поведение всех инвесторов на рынке, можно выявить характер конечной равновесной зависимости между риском и доходностью каждой ценной бумаги.
Сначала инвесторы анализируют ценные бумаги и определяют структуру «касательного» портфеля. В итоге, в равновесном случае все инвесторы выбирают один и тот же «касательный» портфель, т.к. оценки инвесторов относительно ожидаемых доходностей бумаг, их дисперсий и ковариаций, а также величины безрисковой процентной ставки полностью совпадают. К тому же линейное эффективное множество является одним и тем же для всех инвесторов, так как оно состоит из комбинаций согласованного «касательного» портфеля и безрискового заимствования или кредитования.
В связи с тем что все инвесторы имеют одно и то же эффективное множество, единственной причиной, по которой они предпочтут различные портфели, является то, что они характеризуются различными кривыми безразличия. Хотя выбранные портфели будут различными, каждый инвестор выберет одну и ту же комбинацию рискованных бумаг, обозначенных на рисунке 2.5 черезТ. Это означает, что каждый инвестор распределит свои средства среди рискованных бумаг в одной и той же относительной пропорции, увеличивая безрисковое заимствование или кредитование с целью достижения предпочтительной для него комбинации риска и дохода. Это свойство модели оценки финансовых активов часто называют теоремой разделения: «Оптимальная для инвестора комбинация активов не зависит от его предпочтения относительно риска и дохода».
Другими словами, оптимальная комбинация рискованных активов может быть определена без построения кривых безразличия каждого инвестора.
Объяснением теоремы разделения служит то, что все портфели, расположенные на линейном эффективном множестве, включают в себя инвестирование в «касательный» портфель в сочетании с различным уровнем безрискового заимствования или кредитования. В модели оценки финансовых активов каждый инвестор сталкивается с одним и тем же линейным эффективным множеством. Это означает, что все будут инвестировать в один и тот же «касательный» портфель (в сочетании с определенным объемом безрискового заимствования и кредитования, который определяется кривой безразличия каждого инвестора). Из этого следует, что доля рискованных ценных бумаг в портфеле каждого инвестора будет одной и той же.
Другим важным свойством модели оценки финансовых активов является то, что в состоянии равновесия каждый вид ценных бумаг имеет ненулевую долю в «касательном» портфеле. Основанием этого свойства является теорема разделения, которая утверждает, что доля рискованных активов в портфеле каждого инвестора не зависит от предпочтения инвестора относительно риска и доходности. Эта теорема основывается на том, что рискованная доля портфеля каждого инвестора представляет собой просто инвестирование вТ. Если каждый инвестор приобретаетТи при этомТне включает в себя инвестиций в каждый вид бумаг, то получается, что никто не инвестировал в те бумаги, которые имели нулевую долю вТ. Это должно привести к тому, что курсы ценных бумаг с нулевой долей вТупадут, вызвав рост их ожидаемой доходности до тех пор, пока в «касательном» портфеле их доля станет отличной от нуля.
В результате соотношение долей каждой бумаги в «касательном» портфеле в состоянии равновесия будет соответствовать соотношению долей бумаг в так называемом рыночном портфеле. Рыночный портфель – это портфель, состоящий из всех ценных бумаг, в котором доля каждой соответствует ее относительной рыночной стоимости. Относительная рыночная стоимость ценной бумаги равна ее совокупной рыночной стоимости, деленной на сумму совокупных рыночных стоимостей всех ценных бумаг.
Причина, по которой рыночный портфель занимает центральное место с модели оценки финансовых активов, заключается в том, что эффективное множество состоит из инвестиций в рыночный портфель в совокупности с желаемым количеством безрискового заимствования или кредитования. Таким образом, вполне правомерно можно определить «касательный» портфель как рыночный и обозначить его черезМвместоТ. Теоретически,Мсостоит не только из обыкновенных акций, но и других видов инвестиций, таких, как облигации, привилегированные акции и недвижимость. Однако на практике подМпонимают портфель, содержащий только обыкновенные акции.
В модели оценки финансовых активов простым образом определяется связь между риском и доходностью эффективных портфелей. Это наглядно представлено на рисунке 2.7. ТочкаМобозначает рыночный портфель, аrfпредставляет собой безрисковую ставку доходности. Эффективные портфели находятся вдоль прямой, пересекающей ось ординат в точке с координатами (0,rf) и проходящей черезМ, и образуются альтернативными комбинациями риска и доходности, получаемыми в результате сочетания рыночного портфеля с безрисковым заимствованием или кредитованием. Это линейное эффективное множество в данной модели известно под названием рыночная линия (Capital Market Line, CML). Все остальные портфели, не использующие рыночный портфель в комбинации с безрисковым заимствованием или кредитованием, будут лежать ниже рыночной прямой, хотя некоторые могут располагаться в

непосредственной близости от нее.