Перед нами была поставлена задача осуществить выбор и обоснование методики по формированию портфеля ценных бумаг и провести практические расчеты, связанные с его созданием на примере построения портфелей облигаций и акций. Исходя из этого поставленной задачи в данной части дипломного проекта будет предложен портфель ценных бумаг, принципиальное значение которого будет в обосновании применения математических методов к формированию портфеля ценных бумаг.
В настоящее время рынок рублевых долговых инструментов представлен следующими основными секторами: рынок государственных и муниципальных облигаций, вексельный рынок, рынок корпоративных облигаций. Хотя по оборотам ведущую позицию занимает вексельный рынок (векселя, выпущенные банками, не попадают на рынок и используются либо для проведения различных зачетных операций, либо выпущены «проблемными банками»), большую часть долгового рынка занимается рынок ГКО/ОФЗ (рисунок 3.1).
Рынок акций является наиболее трудно предсказуемым, так как колебания курсов на нем могут достичь большого размаха. Таким образом, работа с акциями может принести как значительные убытки, так и большую прибыль. Поэтому применение математических моделей к портфелю акций является наиболее интересным с точки зрения получения оптимального портфеля, приносящего доход.
Рисунок 3.1 – Структура долгового рынка
Наряду с доходностью и риском банк уделяет большое внимание ликвидности. Хотя доходность по ГКО/ОФЗ находится на относительно низком уровне, они являются высоколиквидными ценными бумагами. Ликвидность портфеля акций также достижима путем отбора соответствующих ценных бумаг. Исходя из вышеназванных причин, для включения в состав совокупного портфеля ценных бумаг были выбраны акции и государственные облигации.
Формирование совокупного портфеля ценных бумаг банка будем проводить в несколько этапов. Первые два этапа включают в себя определение структуры оптимальных портфелей государственных облигаций и корпоративных акций. Третий этап является синтезом двух предыдущих и представляет собой определение конечной структуры общего портфеля. В завершении будет оценена эффективность применения моделей к данным рынкам путем определения полученного результата за период инвестирования.
1.10 Формирование оптимальной структуры портфеля государственных облигаций
Для формирования оптимальной структуры портфеля государственных облигаций будем использовать параметрическую модель Марковица, описанную в параграфе 2.1. Эта методика оптимизирует структуру портфеля ценных бумаг на основе статистической информации.
В качестве периода накопления информации примем период с 1.10.2001г. по 29.03.2002г., который разобьем на 26 периодов длинной в одну неделю, т.е. значения показателей будем фиксировать каждую неделю периода накопления информации. Оптимальная структура портфеля формируется на апрель 2002 г.
Торги по государственным ценным бумагам, как это было описано в пункте 1.3.1, происходят на ММВБ. Список торгуемых инструментов на государственном секторе ММВБ на 01.04.2002 приведен в таблице А.1 приложения А.
Для рассмотрения целесообразности включения в портфель были отобраны ОФЗ 26001, ОФЗ 27002-27014, ОФЗ 28001 (итого 15 наименований). Примем эти ценные бумаги в качестве исходных для формирования оптимальной структуры портфеля государственных ценных бумаг.
Другие государственные облигации были отклонены по следующим причинам:
1) дата размещения выпусков позже даты начала периода накопления информации;
2) отсутствие котировок в течение длительного периода в следствии отсутствия торгов из-за низкой ликвидности.
Для обеспечения диверсификации портфеля ценных бумаг, количество ценных бумаг в портфеле должно быть не менее восьми. Портфель облигаций должен быть диверсифицирован по сроку до погашения облигаций. При отборе облигаций данные условия были соблюдены.
Исходными данными для реализации методики являются:
1) курс облигаций за период накопления информации ( Kit );
2) рассчитанная на основе курса и календаря купонных выплат годовая эффективная доходность к погашению облигаций ( rit ).
Исходные данные взяты из фактических биржевых котировок на ММВБ за период с 1.10.2001г. по 29.03.2002г. и представлены в таблицах А.2 и А.3 приложения А.
Для решения задачи нахождения оптимальной структуры портфеля государственных облигаций по модели Марковица используются следующие шаги:
1) нахождение математического ожидания и дисперсии эффективной доходности каждой облигации;
2) нахождение ковариаций между эффективными доходностями каждой пары облигаций;
3) определении структуры и местоположения эффективного множества;
4) выбор приемлемого соотношения доходности и риска;
5) нахождение доли инвестиций di в каждую облигацию.
Решение задачи оптимизации структуры портфеля ценных бумаг рассмотрено в параграфе 2.1. Рассмотрим поочередно все шаги решения.
Параметрическая модель Марковица допускает эффективную статистическую оценку. Параметры этой модели можно оценить исходя из имеющихся статистических данных за прошлые периоды.
Математическое ожидание эффективной доходности каждой облигации (ri) вычисляется следующим образом:
. (37)
гдеrit– эффективная доходностьi-й облигации в период времениt, %,i= 1,…, 15;
t– номер периода диапазона накопления информации,t= 1, …, 26 ;
T– длительность периода накопления информации.
Стандартное отклонение эффективной доходностиi-ой облигации (si) определяется по формуле:
. (38)
Результаты вычисления математического ожидания и стандартного отклонения эффективной доходности каждой ценной бумаги представлены в таблице 3.1.
Ковариация между эффективными доходностямиi-й иj-й облигаций (sij) определяется по формуле:
, (39)
гдеritиrjt– эффективные доходности, соответственно,i-й иj-й облигации в период времениt, %;
riиrj– соответственно, математические ожидания эффективных доходностейi-й иj-й облигации, %.
Таблица 3.1 – Математическое ожидание и стандартное отклонение эффективной доходности облигаций
|
Математическоеожидание, %
|
Стандартноеотклонение |
ОФЗ 26001 |
16,52 |
1,014 |
ОФЗ 27002 |
14,28 |
0,906 |
ОФЗ 27003 |
14,37 |
0,885 |
ОФЗ 27004 |
14,58 |
0,718 |
ОФЗ 27005 |
14,49 |
0,836 |
ОФЗ 27006 |
14,75 |
0,799 |
ОФЗ 27007 |
14,84 |
0,746 |
ОФЗ 27008 |
15,26 |
0,721 |
ОФЗ 27009 |
15,31 |
0,688 |
ОФЗ 27010 |
15,40 |
0,666 |
ОФЗ 27011 |
15,60 |
0,852 |
ОФЗ 27012 |
16,42 |
1,121 |
ОФЗ 27013 |
16,20 |
0,957 |
ОФЗ 27014 |
16,09 |
0,906 |
ОФЗ 28001 |
16,33 |
1,010 |
Совокупность ковариацийi-й иj-й облигаций дает ковариационную матрицу доходностей (таблица 3.2).
Следующий этап в определении оптимальной структуры портфеля – построение эффективного множества (рисунок 3.2). Это множество было построено при помощи метода линейного программирования, т.е. при заданном значении доходности портфеля, рассчитанной по формуле (14), минимизировалась величина риска, т.е. стандартного отклонения портфеля, полученного при помощи формулы (15).
Рисунок 3.2 – Эффективное множество портфелей ОФЗ
Для определения точки нахождения на эффективном множестве оптимального портфеля необходимо построить кривые безразличия. Так как это достаточно трудно осуществить на практике, ограничимся лишь простым выбором этой точки на графике, исходя из собственных предположений.
Так как банки являются достаточно консервативными организациями, не склонными к большому риску, то искомая точка должна находиться в левой части кривой – с меньшим риском. Начиная с некоторого момента, кривая приобретает все более пологий вид, что свидетельствует о том, что при
|
Облигация
|
Доля |
ОФЗ 26001 |
0,183 |
ОФЗ 27004 |
0,018 |
ОФЗ 27005 |
0,126 |
ОФЗ 27007 |
0,027 |
ОФЗ 27008 |
0,030 |
ОФЗ 27009 |
0,044 |
ОФЗ 27010 |
0,031 |
ОФЗ 27012 |
0,540 |
дальнейшем увеличении доходности риск увеличивается нарастающими
темпами. Поэтому, нами было принято решение считать целесообразным при формировании оптимального портфеля для данного инвестора портфель с доходностью 16% годовых.
Оптимальный портфель облигаций, таким образом, имеет структуру, представленную в таблице 3.3 и на рисунке 3.3.
Риск портфеля, представленного в таблице 3.3, согласно формуле (15) и рисунку 3.2 составит величинуsp= 0,52.
Рисунок 3.3 – Структура оптимального портфеля ОФЗ
Количество видов облигаций в портфеле составляет восемь видов, что является достаточным для диверсификации портфеля. Найденная структура оптимального портфеля облигаций в дальнейшем будет использоваться при составлении общего портфеля ценных бумаг АБ «Дорожник».
1.11 Формирование оптимальной структуры портфеля акций
Для формирования портфеля акций будем использовать синтез сразу нескольких моделей. За основу примем модель оценки финансовых активов, которая использует рыночный портфель, содержащий все обращающие на рынке ценные бумаги. На практике, однако, в связи с тем, что точно определить структуру рыночного портфеля не удается, используют рыночный индекс. Поэтому «бету», определенную с помощью рыночной модели Шарпа, несмотря на концептуальное различие, принимают в качестве оценки «беты» в модели оценки финансовых активов.
Рыночный портфель в модели оценки финансовых активов является тождественным «касательному» портфелю в модели Тобина с безрисковым активом. Поэтому «касательный» портфель будем рассчитывать при помощи алгоритма Элтона-Грубера-Падберга, который применим к модели Тобина и значительно упрощает вычисления. За безрисковую ставку примем доходность оптимального портфеля государственных облигаций, рассчитанную в предыдущем параграфе. Хотя государственные ценные бумаги не являются полностью безрисковым инструментом, с некоторыми ограничениями мы можем сделать такое предположение. Тем более, это допущение сделает оба портфеля более взаимосвязанными.
Для рассмотрения были отобраны наиболее ликвидные акции российского фондового рынка. Ликвидность была оценена по формуле расчета агрегированного показателя ликвидности (формула 2). Результаты сведены в таблицу (3.4). В этой таблице также приведены обозначения, принятые в РТС (тикеры), и которые будут применяться в дальнейшем для краткости.
Хотя для применения алгоритма Элтона-Грубера-Падберга необходимо лишь значении «беты», интерес представляет и другие параметры регрессионного анализа рынка акций. Регрессионный анализ представляет собой наиболее распространенную методику анализа рынка, основные положения которого подробно рассмотрены в пункте 2.3.
Таблица 3.4 – Список акций, выбранных для рассмотрения
|
Название эмитента
|
Тикеры(P – привилег.) |
Агрегированныйпоказатель ликвидности |
|
"ЕЭС России" РАО |
EESR, EESRP
|
227 605,01
|
|
"Сибнефть" |
SIBN
|
203 570,47
|
|
"ЛУКОЙЛ "Нефтяная компания" |
LKOH
|
196 121,68
|
|
"Сургутнефтегаз" |
SNGS, SNGSP
|
96 896,89
|
|
"Ростелеком" |
RTKM, RTKMP
|
73 545,84
|
|
"Газпром" |
GSPBEX
|
63 956,49
|
|
"Мосэнерго" |
MSNG
|
59 818,43
|
|
"Сбербанк России" |
SBER
|
30 339,70
|
|
"Норильский никель" ГМК |
GMKN
|
11 928,16
|
|
"ЮКОС" НК |
YUKO
|
6 111,41
|
|
"Татнефть" |
TATN
|
2 945,06
|
Напомним, что зависимость доходности ценной бумаги от доходности индекса описывается формулой (18).
, (18)
гдеri– доходность ценной бумаги i за данный период;
rI– доходность на рыночный индекс I за этот же период;
aiI– коэффициент смещения;
biI– коэффициент наклона;
eiI– случайная погрешность.
Значения регрессионных показателейbиaзависят от глубины расчета, т.е. от размера временного ряда значений доходностей рыночного индекса и рассматриваемой ценной бумаги. Была выбрана глубина расчета показателей равная 6 месяцам (с 1.10.2001г. по 29.03.2002г), при этом доходности рассчитывались исходя из средневзвешенных ежедневных цен. Если в течении дня сделок по конкретной бумаге заключено не было, то средневзвешенная цена рассчитывается по формуле:
, (40)
гдеbest_bidиbest_ask– функции лучших котировок на покупку и продажу соответственно.
В качестве исходных данных приняты котировки акций в РТС, в качестве рыночного индекса – индекс РТС (таблица Б.1 приложения Б). Индекс РТС является единственным официальным индикатором Российской Торговой Системы. Индекс рассчитывается один раз в 30 минут в течение всей торговой сессии, начиная с 12:00 и заканчивая в 18:00. Значение индекса на 12:00 является значением открытия, на 18:00 – значением закрытия. Для расчетов фиксировалась значение индекса на момент закрытия торгов.
Для более точного регрессионного анализа за шаг расчет был принят один рабочий день. Доходность акций рассчитывалась по формуле (5). Результаты вычислений доходности представлены в таблица Б.2 приложения Б.
Параметры регрессионной модели рассчитывались по формулам (19-24). Математическое ожидание рассчитывалось как арифметическое среднее на основе исторических данных. Результаты сведены в таблицу 3.5.
Для наглядности на основе данных таблицы 3.5 построены гистограммы (рисунки 3.4 – 3.7).
Коэффициент «бета» предоставляет информацию о том, как прибыль по акции изменяется в соответствии с динамикой рыночной прибыли. Положительное значение бета-коэффициента означает тенденцию акций повышаться в том же направлении, что и рынок; отрицательное значение «бета» указывает на тенденцию движения против рынка. Показатель «бета» больше единицы определяет акцию, которая проявляет тенденцию в пропорциональном отношении изменяться в большей степени, чем рынок. Доход по ней повышается еще больше в момент общего повышения доходности рынка и падает в большей степени в момент общего снижения дохода рынка. Бета-коэффициент меньше единицы характеризует акцию, доход по которой менее изменчив, чем рынок.
Таблица 3.5 – Таблица коэффициентов
|
Бета
|
Альфа |
R2 |
СКОошибки |
Ошибкабеты |
Ошибкаальфы |
Математическое ожидание доходности ,% в месяц |
|
EESR |
0,496
|
0,0025 |
0,148 |
0,025 |
0,095 |
0,0023 |
11,6
|
|
GSPBEX |
0,705
|
0,0001 |
0,022 |
0,024 |
0,095 |
0,0023 |
9,1
|
|
LKOH |
0,481
|
0,0011 |
0,151 |
0,023 |
0,089 |
0,0021 |
8,5
|
|
SBER |
0,840
|
0,0080 |
0,065 |
0,027 |
0,104 |
0,0025 |
28,1
|
|
TATN |
0,581
|
0,0007 |
0,070 |
0,020 |
0,078 |
0,0019 |
8,8
|
|
MSNG |
0,471
|
0,0000 |
0,079 |
0,023 |
0,088 |
0,0021 |
6,0
|
|
RTKM |
0,714
|
0,0038 |
0,087 |
0,021 |
0,081 |
0,0019 |
17,2
|
|
GMKN |
0,661
|
0,0008 |
0,060 |
0,025 |
0,097 |
0,0023 |
9,9
|
|
SIBN |
0,698
|
0,0065 |
0,041 |
0,033 |
0,128 |
0,0031 |
23,0
|
|
SNGS |
0,936
|
-0,0010 |
0,128 |
0,013 |
0,051 |
0,0012 |
9,4
|
|
YUKO |
0,739
|
0,0039 |
0,147 |
0,015 |
0,056 |
0,0013 |
17,7
|
|
EESRP |
0,310
|
0,0082 |
0,007 |
0,092 |
0,358 |
0,0086 |
21,9
|
|
SNGSP |
0,555
|
0,0009 |
0,202 |
0,019 |
0,074 |
0,0018 |
8,9
|
|
RTKMP |
0,508
|
0,0059 |
0,039 |
0,025 |
0,098 |
0,0023 |
19,4
|
