·Даже такие "обтекаемые" теоретические выводы в сильной степени зависят отобъема выборки(количества наблюдений), а также от "чистоты эксперимента" — условий его проведения.
Методы непараметрической статистики
Использование классических распределений случайных величин обычно называют "параметрической статистикой" - мы делаем предположение о том, что интересующая нас СВ (дискретная или непрерывная) имеет вероятности, вычисляемые по некоторым формулам или алгоритмам. Однако не всегда у нас имеются основания для этого. Причин тому чаще всего две:
·некоторые случайные величины просто не имеют количественного описания, обоснованных единиц измерения (уровень знаний, качество продукции и т. п.);
·наблюдения над величинами возможны, но их количество слишком мало для проверки предположения (гипотезы) о типе распределения.
В настоящее время в прикладной статистике все большей популярностью пользуются методы т. н.непараметрическойстатистики — когда вопрос о принадлежности распределения вероятностей данной величины к тому или иному классу вообще не подымается, но конечно же — задача оценки самой СВ, получения информации о ней, остается.
Одним из основных понятий непараметрической статистики является понятие ШКАЛЫ или процедуры шкалирования значений СВ. По своему смыслу процедура шкалирования суть решение вопроса о "единицах измерения" СВ. Принято использовать четыре вида шкал.
Nom.Первой из них рассмотрим НОМИНАЛЬНУЮ шкалу — применяемую к тем величинам, которые не имеют природной единицы измерения. Если некоторая величина может принимать на своей номинальной шкале значения X , Y или Z , то справедливыми считаются только выражения типа: (X#Y), (X#Z), (X=Z), а выражения типа (X>Y), (X не имеют никакого смысла. Примеры СВ, к которым применимы только номинальные шкалы — пол, цвет, марка автомобиля и т. п.
Ord.Второй способ шкалирования - использование ПОРЯД-КОВЫХ шкал. Они незаменимы для СВ, не имеющих природных единиц измерения, но позволяющих применять понятия предпочтения одного значения другому. Типичный пример: оценки знаний (даже при нечисловом описании), служебные уровни и т. п.; для таких величин разрешены не только отношения равенства (= или #), но и знаки предпочтения (> или <). Иногда говорят орангахзначений таких величин.
Int & Rel.Еще два способа шкалирования используются для СВ, имеющих натуральные размерности — это ИНТЕРВАЛЬНАЯ и ОТНОСИТЕЛЬНАЯ шкала. Для таких величин, кроме отношений равенства и предпочтения, допустимы операции сравнения - т. е. все четыре действия арифметики. Главная особенность таких шкал заключается в том, что разность двух значений на шкале (36 и 12) имеет один смысл для любого места шкалы (28 и 4). Различие между интервальной шкалой и относительной — только в понятиинуля— на интервальной шкале 0 Кг веса означает отсутствие веса, а на относительной шкале температур 0 градусов не означает отсутствие теплоты — поскольку возможны температуры ниже 0 градусов (Цельсия).
Можно теперь заметить еще одно преимущество, которое мы получаем при использовании методов непараметрической статистики — если мы сталкиваемся со случайной величиной непрерывной природы, то использование интервальной или относительной шкалы позволит нам иметь дело не со случайными величинами, а со случайными событиями — типа "вероятность того, что вес продукции находится в интервале 17 Кг". Поэтому можно предложить единый подход к описаниювсехпоказателей функционирования сложной системы —описание на уровне простых случайных событий(с вероятностью P(X) может произойти событие X ). При том под событием придется понимать то, что случайная величина займет одно из допустимых для нее положений на шкалеNom, Ord, IntилиRel.
Конечно — такой, “микроскопический”подход резко увеличивает объем информации, необходимой для системного анализа. Частично этот недостаток смягчается при использовании компьютерных методов системного анализа, но более важно другое — преимущество на начальных этапах анализа, когда решаются вопросы дезинтеграции большой системы (выделение отдельных ее элементов) и последующей ее интеграции для разработки стратегии управления системой.
Не будет большим преувеличением считать, что методы непараметрической статистики - Не будет большим преувеличением считать, что методы непараметрической статистики -наиболее мощное средстводля решения задач системного анализа во многих областях деятельности человека и, в частности, в экономике.
Корреляция случайных величин
Прямое токование терминакорреляция— стохастическая, вероятная, возможнаясвязьмежду двумя (парная) или несколькими (множественная) случайными величинами.
Выше говорилось о том, что если для двух СВ ( X и Y ) имеет место равенство P(XY) =P(X)
P(Y) , то величины X и Y считаются независимыми. Ну, а если это не так!?
Ведь всегда важен вопрос — акак сильнозависит одна СВ от другой? И дело в не присущем людям стремлении анализировать что-либо обязательно в числовом измерении. Уже понятно, что системный анализ означает непрерывные выЧИСЛения, что использование компьютера вынуждает нас работать счислами, а не понятиями.
Для числовой оценки возможной связи между двумя случайными величинами: Y (со средним My и среднеквадратичным отклонением Sy ) и — X (со средним Mx и среднеквадратичным отклонением Sx ) принято использовать так называемыйкоэффициент корреляции
Rxy=
. {2 - 11}
Этот коэффициент может принимать значения от -1 до +1 — в зависимости от тесноты связи между данными случайными величинами.
Если коэффициент корреляции равен нулю, то X и Y называютнекоррелированными. Считать их независимыми обычно нет оснований — оказывается, что существуют такие, как правило — нелинейные связи величин, при которых Rxy = 0 , хотя величины зависят друг от друга. Обратное всегда верно — если величинынезависимы, то Rxy = 0 . Но, если модуль Rxy = 1, то есть все основания предполагать наличиелинейнойсвязи между Y и X . Именно поэтому часто говорят олинейной корреляциипри использовании такого способа оценки связи между СВ.
Отметим еще один способ оценки корреляционной связи двух случайных величин — если просуммировать произведения отклонений каждой из них от своего среднего значения, то полученную величину —
Сxy= S (X - Mx) · (Y - My)
иликовариациювеличин X и Y отличает от коэффициента корреляции два показателя : во-первых,усреднение(деление на число наблюдений или пар X , Y )и, во-вторых,нормированиепутем деления на соответствующие среднеквадратичные отклонения.
Такая оценка связей между случайными величинами в сложной системе является одним из начальных этапов системного анализа, поэтому уже здесь во всей остроте встает вопрос о доверии к выводу о наличии или отсутствии связей между двумя СВ.
В современных методах системного анализа обычно поступают так. По найденному значению R вычисляют вспомогательную величину:
W = 0.5 Ln[(1 + R)/(1-R)] {2 - 12}
и вопрос о доверии к коэффициенту корреляции сводят к доверительным интервалам для случайной величины W, которые определяются стандартными таблицами или формулами.
В отдельных случаях системного анализа приходится решать вопрос о связях нескольких (более 2) случайных величин или вопрос омножественной корреляции.
Пусть X , Y и Z - случайные величины, по наблюдениям над которыми мы установили их средние Mx , My , Mz и среднеквадратичные отклонения Sx , Sy, Sz.
Тогда можно найтипарныекоэффициенты корреляции Rxy , Rxz, Ryz по приведенной выше формуле. Но этого явно недостаточно - ведь мы на каждом из трех этапов попросту забывали о наличии третьей случайной величины! Поэтому в случаях множественного корреляционного анализа иногда требуется отыскивать т. н.частныекоэффициенты корреляции — например, оценка виляния Z на связь между X и Y производится с помощью коэффициента
Rxy.z = {2 - 13}
И, наконец, можно поставить вопрос — а какова связь между данной СВ и совокупностью остальных? Ответ на такие вопросы дают коэффициентымножественнойкорреляции Rx.yz, Ry.zx, Rz.xy, формулы для вычисления которых построены по тем же принципам — учету связи одной из величин со всеми остальными в совокупности.
На сложности вычислений всех описанных показателей корреляционных связей можно не обращать особого внимания - программы для их расчета достаточно просты и имеются в готовом виде во многих ППП современных компьютеров.
Достаточно понять главное — если при формальном описании элемента сложной системы, совокупности таких элементов в виде подсистемы или, наконец, системы в целом, мы рассматриваем связи между отдельными ее частями, — то степень тесноты этой связи в виде влияния одной СВ на другую можно и нужно оценивать на уровне корреляции.
В заключение заметим еще одно — во всех случаях системного анализа на корреляционном уровне обе случайные величины при парной корреляции или все при множественной считаются "равноправными" — т. е. речь идет о взаимном влиянии СВ друг на друга.
Так бывает далеко не всегда - очень часто вопрос о связях Y и X ставится в иной плоскости — одна из величин является зависимой (функцией) от другой (аргумента).
Линейная регрессия
В тех случаях, когда из природы процессов в системе или из данных наблюдений над ней следует вывод о нормальном законе распределения двух СВ - Y и X , из которых одна является независимой, т. е. Y является функцией X , то возникает соблазн определить такую зависимость “формульно”, аналитически.
В случае успеха нам будет намного проще вести системный анализ — особенно для элементов системы типа "вход-выход”. Конечно, наиболее заманчивой является перспектива линейной зависимости типа Y = a + b · X .
Подобная задача носит название задачирегрессионного анализаи предполагает следующий способ решения.
Выдвигается следующаягипотеза:
H0: случайная величинаYпри фиксированном значении величиныXраспределенанормальнос математическим ожиданием
My = a + b · X и дисперсией Dy , не зависящей от X . {2 - 14}
При наличии результатов наблюдений над парами Xi и Yi предварительно вычисляются средние значения My и Mx , а затем производится оценка коэффициента b в виде
b = = Rxy {2 - 15}
что следует из определения коэффициента корреляции {2 - 11}.
После этого вычисляется оценка для a в виде
a = My - b MX {2 - 16}
и производится проверка значимости полученных результатов. Таким образом, регрессионный анализ является мощным, хотя и далеко не всегда допустимым расширением корреляционного анализа, решая всё ту же задачу оценки связей в сложной системе.
Элементы теории статистических решений
Что такое - статистическое решение? В качестве простейшего примера рассмотрим ситуацию, в которой вам предлагают сыграть в такую игру:
·вам заплатят 2 доллара, если подброшенная монета упадет вверх гербом;
·вы заплатите 1 доллар, если она упадет гербом вниз.
Скорее всего, вы согласитесь сыграть, хотя понимаете степень риска. Вы сознаете, "знаете" о равновероятности появления герба и "вычисляете" свой выигрыш 0.5·1- 0.5·1= + $0.5.
Усложним игру — вы видите, что монета несколько изогнута и возможно будет падать чаще одной из сторон. Теперь решение играть или не играть по-прежнему зависит от вероятности выигрыша, которая не может быть заранее (по латыни — Усложним игру — вы видите, что монета несколько изогнута и возможно будет падать чаще одной из сторон. Теперь решение играть или не играть по-прежнему зависит от вероятности выигрыша, которая не может быть заранее (по латыни —apriori) принята равной 0.5.
Человек, знакомый со статистикой, попытаетсяоценитьэту вероятность с помощью опытов, если конечно они возможны и стоят не очень дорого. Немедленно возникает вопрос - сколько таких бросаний вам будет достаточно?
Пусть с вас причитается 5 центов за одно экспериментальное бросание, а ставки в игре составляют $2000 против $1000. Скорее всего, вы согласитесь сыграть, заплатив сравнительно небольшую сумму за 100..200 экспериментальных бросков. Вы, наверное, будете вести подсчет удачных падений и, если их число составит 20 из 100, прекратите эксперимент и сыграете на ставку $2000 против $1000, так какожидаемыйвыигрыш оценивается в 0.8·2000 + 0.2·1000 - 100·0.05=$1795.
В приведенных примерах главным для принятия решения была вероятность благоприятного исхода падения монетки. В первом случае — априорная вероятность, а во втором — апостериорная. Такую информацию принято называтьданными о состоянии природы.
Приведенные примеры имеют самое непосредственное отношение к существу нашего предмета. В самом деле — при системном управлении приходится принимать решения в условиях, когда последствия таких решений заранее достоверно неизвестны. При этом вопрос: играть или не играть — не стоит! "Играть" надо,надо управлятьсистемой. Вы спросите - а как же запрет на эксперименты? Ответ можно дать такой — само поведение системы в обычном ее состоянии может рассматриваться как эксперимент, из которого при правильной организации сбора и обработки информации о поведении системы можно ожидать получения данных для выяснения особенности системного подхода к решению задач управления.
Этапы системного анализа
Общие положения
В большинстве случаев практического применения системного анализа для исследования свойств и последующего оптимального управления системой можно выделить следующие основные этапы:·Содержательная постановка задачи
·Построение модели изучаемой системы
·Отыскание решения задачи с помощью модели
·Проверка решения с помощью модели
·Подстройка решения под внешние условия
·Осуществление решения
Остановимся вкратце на каждом из этих этапов. Будем выделять наиболее сложные в понимании этапы и пытаться усвоить методы их осуществления на конкретных примерах.
Но уже сейчас отметим, что в каждом конкретном случае этапы системного занимают различный “удельный в Но уже сейчас отметим, что в каждом конкретном случае этапы системного занимают различный “удельный вес” в общем объеме работ по временным, затратным и интеллектуальным показателям. Очень часто трудно провести четкие границы — указать, где оканчивается данный этап и начинается очередной.
Содержательная постановка задачи
Уже упоминалось, что в постановке задачи системного анализа обязательно участие двух сторон: заказчика (ЛПР) и исполнителя данного системного проекта. При этом участие заказчика не ограничивается финансированием работы - от него требуется (для пользы дела) произвести анализ системы, которой он управляет, сформулированы цели и оговорены возможные варианты действий. Так, — в упомянутом ранее примере системы управления учебным процессом одной из причин тихой кончины ее была та, что одна из подсистем руководство Вузом практически не обладала свободой действий по отношению к подсистеме обучаемых.
Конечно же, на этом этапе должны быть установлены и зафиксированы понятия эффективности деятельности системы. При этом в соответствии с принципами системного подхода необходимо учесть максимальное число связей как между элементами системы, так и по отношению к внешней среде. Ясно, что исполнитель-разработчик не всегда может, да и не должен иметь профессиональные знания именно тех процессов, которые имеют место в системе или, по крайней мере, являются главными. С другой стороны совершенно обязательно наличие таких знаний у заказчика — руководителя или администратора системы. Заказчик должен знать что надо сделать, а исполнитель — специалист в области системного анализа — как это сделать.
Обращаясь к будущей вашей профессии можно понять, что вам надо научиться и тому и другому. Если вы окажетесь в роли администратора, то к профессиональным знаниям по учету и аудиту весьма уместно иметь знания в области системного анализа — грамотная постановка задачи, с учетом технологии решения на современном уровне будет гарантией успеха. Если же вы окажетесь в другой категории — разработчиков, то вам не обойтись без “технологических" знаний в области учета и аудита. Работа по системному анализу в экономических системах вряд ли окажется эффективной без специальных знаний в области экономики. Разумеется, наш курс затронет только одну сторону — как использовать системный подход в управлении экономикой.
Построение модели изучаемой системы в общем случае
Модель изучаемой системы в самом лаконичном виде можно представить в виде зависимости E = f(X,Y) {3 - 1}
где: E — некоторый количественный показатель эффективности системы в плане достижения цели ее существования T , будем называть его —критерий эффективности. X — управляемые переменные системы — те, на которые мы можем воздействовать илиуправляющие воздействия; Y — неуправляемые, внешние по отношению к системе воздействия; их иногда называют Y — неуправляемые, внешние по отношению к системе воздействия; их иногда называютсостояниями природы.
Заметим, прежде всего, что возможны ситуации, в которых нет никакой необходимости учитывать состояния природы. Так, например, решается стандартная задача размещения запасов нескольких видов продукции и при этом можем найти E вполне однозначно, если известны значения Xi и, кроме того, некоторая информация о свойствах анализируемой системы .
В таком случае принято говорить о принятии управляющих решений или о стратегии управления в условиях определенности .
Если же с воздействиями окружающей среды, с состояниями природы мы вынуждены считаться, то приходится управлять системой вусловиях неопределенностиили, еще хуже — при наличии противодействия. Рассмотрим первую, на непросвещенный взгляд — самую простую, ситуацию.
Моделирование в условиях определенности
Классическим примером простейшей задачи системного анализа в условиях определенности может служить задача производства и поставок товара. Пусть некоторая фирма должна производить и поставлять продукцию клиентам равномерными партиями в количестве N =24000 единиц в год. Срыв поставок недопустим, так как штраф за это можно считать бесконечно большим.
Запускать в производство приходится сразу всю партию, таковы условия технологии. Стоимость хранения единицы продукции Cx =10 копеек в месяц, а стоимость запуска одной партии в производство (независимо от ее объема) составляет Cp =400 гривен.
Таким образом, запускать в год много партий явно невыгодно, но невыгодно и выпустить всего 2 партии в год — слишком велики затраты на хранение! Где же “золотая середина”, сколько партий в год лучше всего выпускать?
Будем строить модель такой системы. Обозначим через n размер партии и найдем количество партий за год — p = N / n
24000 / n .
Получается, что интервал времени между партиями составляет t = 12 / p (месяцев), а средний запас изделий на складе — n /2 штук.
Сколько же нам будет стоить выпуск партии в n штук за один раз?
Сосчитать нетрудно — 0.1 Сосчитать нетрудно — 0.1·12·n / 2 гривен на складские расходы в год и 400 p гривен за запуск партий по n штук изделий в каждой.
В общем виде годовые затраты составляют E =Tn / 2 +N / n {3 - 2}
где T = 12 — полное время наблюдения в месяцах.
Перед нами типичнаявариационнаязадача: найти такое n0 , при котором сумма E достигает минимума.
Решение этой задачи найти совсем просто — надо взять производную по n и приравнять эту производную нулю. Это дает n0 = , {3 - 3}
что для нашего примера составляет 4000 единиц в одной партии и соответствует интервалу выпуска партий величиной в 2 месяца.
Затраты при этом минимальны и определяются как E0 =,{3 - 4}
что для нашего примера составляет 4800 гривен в год.
Сопоставим эту сумму с затратами при выпуске 2000 изделий в партии или выпуске партии один раз в месяц (в духе недобрых традиций социалистического планового хозяйства): E1 = 0.1·12·2000/2 + 400·24000/ 2000 = 6000 гривен в год.
Комментарии, как говорится, — излишни!
Конечно, так просто решать задачи выработки оптимальных стратегий удается далеко не всегда, даже если речь идет одетерминированныхданных для описания жизни системы — ее модели. Существует целый класс задач системного анализа и соответствующих им моделей систем, где речь идет о необходимости минимизироватьоднуфункции многих переменных следующего типа: E = a1X1 + a2X2 + ..... anXn {3 - 5}
где Xi — искомые переменные, ai — соответствующие им коэффициенты или “веса переменных” и при этом имеют местоограничениякак на переменные, так и на их веса.
Задачи такого класса достаточно хорошо исследованы в специальном разделе прикладной математики —линейном программировании. Еще в докомпьютерные времена были разработаны алгоритмы поиска экстремумов таких функций E = f(a,X) , которые так и назвали —целевыми. Эти алгоритмы или приемы используются и сейчас — служат основой для разработки прикладных компьютерных программ системного анализа.
Системный подход к решению практических задач управления экономикой, особенно для задач со многими десятками сотен или даже тысячами переменных привел к появлению специализированных, типовых направлений как в области теории анализа, так и в практике.
Наиболее “старыми” и, следовательно, наиболее обкатанными являются методы решения специфичных задач, которые давно уже можно называтьклассическими.
Специалистам в области делового администрирования надо знать эти задачи хотя бы на уровне постановки и, главное, в плане моделирования соответствующих систем.
·Задачи управления запасами
Первые задачи управления запасами были рассмотрены еще в 1915 году — задолго не только до появления компьютеров, но и до употребления термина “кибернетика”. Был обоснован метод решения простейшей задачи — минимизация затрат назаказ и хранениезапасов при заданномспросена данную продукцию и фиксированномуровне цен. Решение — размер оптимальной партии обеспечивало наименьшие суммарные затраты за заданный период времени.
Несколько позже были построены алгоритмы решения задачи управления запасами при более сложных условиях — изменении уровня цен (наличие “скидок за качество” и / или “скидок за количество”); необходимости учета линейных ограничений на складские мощности и т. п.
·Задачи распределения ресурсов
В этих задачах объектом анализа являются системы, в которых приходится выполнять несколько операций с продукцией (при наличии нескольких способов выполнения этих операций) и, кроме того, не хватает ресурсов или оборудования для выполнения всех этих операций.
Цель системного анализа — найти способ наиболее эффективноговыполнения операцийс учетомограничений на ресурсы.
