Относительная величина показывает, во сколько раз сравниваемая величина больше или меньше базисной, или какую долю первая составляет от второй; а в отдельных случаях - сколько единиц одной величины приходится на единицу (или на 100, на 1000 и т.д.) другой (базисной) величины.
В результате сопоставления одноименных абсолютных величин получаются отвлеченные неименованные относительные величины, показывающие во сколько раз данная величина больше или меньше базисной. В этом случае базисная величина принимается за единицу (в результате получаетсякоэффициент).
Кроме коэффициента широко распространенной формой выражения относительных величин являютсяпроценты(%). В этом случае базисная величина принимается за 100 единиц.
Относительные величины могут выражаться в промилле (‰), в продецимилле (0/000). В этих случаях база сравнения принимается соответственно за 1 000 и за 10 000. В отдельных случаях база сравнения может быть принята и за 100 000.
Относительные величины могут быть числами именованными. Ее наименование представляет собой сочетание наименований сравниваемого и базисного показателей. Например, плотность населения чел/кв. км (сколько человек приходится на 1 квадратный километр).
Виды относительных величин.
Виды относительных величин подразделяются в зависимости от их содержания. Это относительные величины: планового задания, выполнения плана, динамики, структуры, координации, интенсивности и уровня экономического развития, сравнения.
Относительная величинапланового заданияпредставляет собой отношение величины показателя, устанавливаемой на планируемый период к величине его, достигнутой к планируемому периоду.
Относительной величинойвыполнения плананазывается величина, выражающая соотношение между фактическим и плановым уровнем показателя.
Относительная величинадинамикипредставляет собой отношение уровня показателя за данный период к уровню этого же показателя в прошлом.
Три вышеперечисленные относительные величины связаны между собой, а именно: относительная величина динамики равна произведению относительных величин планового задания и выполнения плана.
Относительная величинаструктурыпредставляет собой отношение размеров части к целому. Она характеризует структуру, состав той или иной совокупности. Например, состав населения по полу. Доля женщин=(численность женщин)/(все население). Доля мужчин=(численность мужчин)/(все население). Эти же величины в процентах называют удельным весом.
Относительной величинойкоординацииназывают соотношение частей целого между собой. В результате получают, во сколько раз данная часть больше базисной. Или сколько процентов от нее составляет или сколько единиц данной структурной части приходится на 1 единицу (100 или 1000 и т.д. единиц) базисной структурной части. Например, на 100 родившихся девочек приходится 105 родившихся мальчиков ((родившиеся мальчики)/(родившиеся девочки)*100).
Относительная величинаинтенсивностихарактеризует развитие изучаемого явления или процесса в другой среде. Это отношение двух взаимосвязанных явлений, но разных. Оно может быть выражено и в процентах, и в промилле, и продецемилле, и именованной. Например число вакансий на 100 незанятых граждан -(число вакансий)/(число незанятых)*100 или коэффициент рождаемости в0/00=(число родившихся за период)/(численность населения)*1000, или плотность населения(все население, чел)/(вся территория, кв. км)=чел/кв. км..
Разновидностью относительной величины интенсивности является показательуровня экономического развития, характеризующий производство продукции на душу населения. Например, производство мяса на душу населения =(производство мяса за период, кг)/(среднегодовая численность населения за период).
Относительная величинасравненияпредставляет собой соотношение одноименных абсолютных показателей по разным объектам (предприятиям, районам, областям, странам и т.д.). Он может быть выражен как в коэффициентах, так и в процентах.
Тренировочные задания.
1. Имеются следующие данные по здравоохранению РТ на конец года:
|
Показатели
|
1994 г. |
1995 г. |
Численность наличного населения, тыс. чел.
Численность врачей всех специальностей, тыс. чел.
Число больничных коек, тыс. |
3754,8
15,6
46,6 |
3760,5
15,7
46,3 |
Проведите анализ изменения обеспеченности населения врачами и количеством больничных коек, используя относительные величины интенсивности в продецимилле.
2. По нижеприведенным показателям определите недостающие данные:
|
Вид продукции
|
План тыс. руб. |
Фактически тыс. руб. |
Процент выполнения плана |
Пальто зимнее жен.
Пальто демисезонные жен.
Плащи жен. |
65
?
105 |
73
55
? |
?
106
110 |
Итого |
? |
? |
? |
Тест.
1. Могут ли абсолютные статистические величины иметь сложные единицы измерения?
А) могут;
Б) не могут;
2. К какому типу единиц относятся "часы"?
А) к натуральным;
Б) к трудовым;
3. Относительный показатель выполнения плана производства продукции на предприятии составил 103%, при этом объем производства продукции по сравнению с предшествующим периодом вырос на 2%. Что предусматривалось планом?
А) рост объема производства;
Б) снижение объема производства;
4. Может ли относительный показатель интенсивности быть выражен коэффициентом?
А) да;
Б) нет;
5. Может ли относительный показатель сравнения быть именованной величиной?
А) может, если исходные абсолютные показатели выражены в условно-натуральных единицах измерения;
Б) не может;
6. Может ли сумма относительных показателей структуры, рассчитанных по одной совокупности быть равной единице?
А) может, если она характеризуется долей;
Б) не может;
7. К какому виду относительных величин относится коэффициент рождаемости (число родившихся на 1000 человек населения)?
А) к относительным величинам структуры;
Б) к относительным величинам координации;
В) к относительным величинам интенсивности;
4. Средние величины.
Сущность средних величин.
Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические явления. Каждое из этих явлений может иметь различное количественное выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной и той же профессии рабочих или цены на рынке на один и тот же товар и т.д.
Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся) признакам статистика использует средние величины.
Средняя величина- это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явленийпо одномуварьирующему признаку. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она представляет значение определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом, через характеристику единицы совокупности она характеризует всю совокупность в целом.
Средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется основная тенденция развития, необходимость, закономерность однако, для этого среднюю необходимо вычислять на основе обобщения массы фактов.
Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различной численностью единиц.
Важнейшим условием научного использования средних величин в статистическом анализе общественных явлений являетсяоднородностьсовокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и технике вычисления средняя в одних условиях (для неоднородной совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности) соответствует действительности. Качественная однородность совокупности определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности явления. Так, например, при исчислении средней урожайности требуется, чтобы исходные данные относились к одной и той же культуре (средняя урожайность пшеницы) или группе культур (средняя урожайность зерновых). Нельзя вычислять среднюю для разнородных культур.
Математические приемы, используемые в различных разделах статистики, непосредственно связаны с вычислением средних величин.
Средние в общественных явлениях обладают относительным постоянством, т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные явления характеризуются примерно одинаковыми средними.
Средине величины очень тесно связаны с методом группировок, т.к. для характеристики явлений необходимо исчислять не только общие (для всего явления) средние, но и групповые (для типических групп этого явления по изучаемому признаку).
Виды средних величин.
От того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней величины, зависит по какой формуле она будет определятся. Рассмотрим наиболее часто применяемые в статистике виды средних величин:
- среднюю арифметическую;
- среднюю гармоническую;
- среднюю геометрическую;
- среднюю квадратическую.
Для этого введем следующие понятия и обозначения:
Признак, по которому находится средняя, называемый осередняемым признаком, обозначим буквой "х"
Значения признака, которые встречаются у группы единиц или отдельных единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака и обозначаются через x1, x2, x3и т.д. Средняя величина этих значений обозначается через " " .
Средняя арифметическая величинаможет быть простой и взвешенной.
Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле
, т.е. как сумма вариантов признака, деленная на их число. Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака встречается в совокупности один или равное число раз.
Средняя арифметическая взвешеннаявычисляется по формуле
, где fi- частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов признака, деленная на сумму весов.
Она применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз.
При расчете средней поинтервальному вариационному рядунеобходимо сначала найти середину интервалов. Это и будут значения xi, а количество единиц совокупности в каждой группе fi(таблица 4.1).
Таблица 4.1.
|
Возраст рабочего, лет
|
Число рабочих, чел (fi) |
Середина возрастного интервала, лет (xi) |
20-30
30-40
40-50
50-60
60 и более |
7
13
48
32
6 |
25
35
45
55
65 |
Итого |
106 |
Х |
Средний возраст рабочих цеха будет равен
лет.
Средняя гармоническая величинаявляется преобразованной средней арифметической величиной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей. Она также может быть простой и взвешенной.Средняя гармоническая простаярассчитывается по формуле
, т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.
Формула средней гармонической взвешенной:
, где Mi=xi*fi(по содержанию).
Например, необходимо определить среднюю урожайность всех технических культур на основании следующих данных (таблица 4.2):
Таблица 4.2
Валовой сбор и урожайность технических культур по одному из районов во всех категориях хозяйств.
|
Культуры
|
Валовой сбор, ц (Mi) |
Урожайность, ц/га (xi) |
|
Хлопчатник
Сахарная свекла
Подсолнечник
Льноволокно |
97,2
601,2
46,3
2,6
|
30,4
467,0
11,0
2,9 |
Итого |
743,3 |
Х |
Здесь в исходной информации веса (площадь под культурами) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь Mi=xi*fi, поэтому
, а средняя урожайность будет равна
.
Средняя геометрическаятакже может быть простой и взвешенной. Применяется главным образом при нахождении средних коэффициентов роста.
Средняя геометрическая простая находится по формуле
, а средняя геометрическая взвешенная - по формуле
. Сфера применения этой средней будет рассмотрена в теме "Ряды динамики".
Средняя квадратическаяприменяется в тех случаях, когда приходится осереднять величины, входящие в исходную информацию в виде квадратических функций.Простая средняя квадратическая
,взвешенная
. Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.
Структурные средние.
Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.
Мода- это наиболее часто встречающаяся варианта признака в данной совокупности.
В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:
44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;
Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.
В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле
, где
x0- нижняя граница модального интервала;
d - величина модального интервала;
f2- частота модального интервала;
f1- частота интервала, предшествующая модальному;
f3- частота интервала, следующая за модальным.
Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 4.3)
Таблица 4.3.
Распределение населения РФ по уровню среднедушевого месячного дохода в I-ом полугодии 1995 года
|
Среднедушевой месячный доход, руб.
|
Удельный вес населения, % (fi) |
Накопленная частота, % (Si) |
менее 100
100-300
300-500
500-700
700-900
900 и выше |
2,4
35,5
30,0
15,7
7,7
8,7 |
2,4
37,9
67,9
83,6
91,3
100,0 |
Всего |
100,0 |
Х |
Интервал 100-300 в данном распределении будет модальным, т.к. он имеет наибольшую частоту (f=35,5). Тогда по вышеуказанной формуле мода будет равна:
руб.
Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так, например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.
Медиана- это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называютсерединнойвариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.
В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.
В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:
, где
x0- нижняя гранича медианного интервала;
d - величина медианного интервала;
Sme-1- сумма накопленных частот до медианного интервала;
fMe- частота медианного интервала.
По данным таблицы 4.3. определим медианное значение среднедушевого дохода. Для этого необходимо определить какой интервал будет медианным. Используя формулу номера медианной единицы ряда, т.е. середины
(%) . Затем определяем накопленную частоту.
Дробное значение N (всегда при четном числе членов) равное 50,5% говорит о том, что середина ряда находится между 50% и 51%, т.е. в третьем интервале. Отсюда медиана по формуле будет определена
руб.
соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если M0 имеет место правосторонняя асимметрия. Если же
руб. Из соотношения этих показателей следует сделать вывод о правосторонней асимметрии распределения населения по уровню среднедушевого денежного дохода.
Тренировочные задания.
1. Выпуск продукции двумя цехами завода за два периода характеризуется следующими данными:
|
№ цеха
|
Базисный период |
Отчетный период |
|
Удельный вес продукции 1 сорта, %
|
Стоимость продукции 1 сорта, тыс. руб |
Удельный вес продукции 1 сорта |
Стоимость всей произведенной продукции, тыс. руб |
1
2 |
90
82 |
2800
1700 |
88
85 |
2700
2000 |
