Урожайность, га	Число хозяйств,	Накопленная частота,
До 6	2	2
6-10	8	10 (2+8)
10-14	17	27 (10+17)
14-18	12	39 (12+27)
18-22	6	45 (6+39)
Свыше 22	2	47 (25+2)
Итого	47

Накопленная частота – это сумма частот данного и всех предшествующих интервалов.
Куммулята позволяет определить, какая часть совокупности обладает значениями изучаемого признака не превышающими заданного предела, а какая часть – наоборот – превышает этот предел.

Количество деталей, изготовленных рабочим за смену, шт.	Число рабочих, чел.,		Объем производства,
До 300	3	290	870
300-320	9	310	2790
320-340	15	330	4950
340-360	12	350	4200
360-380	6	370	2220
Свыше 380	6	390	2340
Итого	51		17370

Из таблицы:
1. Средняя величина всегда тяготеет к вариантам с наибольшими частотами.
2. Средняя величина может не совпадать ни с одним из вариантов дискретного ряда.
3. Средняя величина находится внутри интервала значений вариантов ряда.
Сумма
помимо чисто математического, как правило, имеет смысловое значение, наличие смыслового значения – один из способов проверки правильности выбора средней.
Даже если варианты ряда представлены целыми числами, среднее может быть смешанным числом, иногда такой результат логически неправомерен. В этом случае его надо округлять, переводить в проценты или в промили.

3. Свойства средней арифметической величины.
Свойства средней важны для понимания механизма расчета этого показателя, а так же для разработки ряда более сложных статистических методик.
Свойства :
1. Если из всех вариантов ряда вычесть или ко всем вариантам добавить постоянное число, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это число.
.
2. Если все варианты ряда умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая соответственно увеличится или уменьшится в это число раз.
.
3. Если все частоты увеличить или уменьшить в постоянное число раз, то средняя от этого не изменится.
.
4. Сумма отклонений всех вариантов ряда от средней арифметической равна 0. (Нулевое свойство средней).
.
5. Общая средняя совокупности равна средней арифметической из частных средне взвешенных по объемам частных совокупностей.
, где
- средняя арифметическая частных групп,
- численность соответствующих групп,
- общая средняя.
6. Сумма квадратов отклонений всех вариантов ряда от средней арифметической меньше суммы квадратов их отклонений от любого другого постоянного числа.

Средний квадрат отклонений вариантов ряда от произвольного числа А равен дисперсии плюс квадрат разности между средней и этим числом А.
Данное свойство положено в основу метода наименьших квадратов, который широко применяется в исследовании статистических взаимосвязей.

4. Практическое использование свойств средней арифметической.
Свойства средней арифметической используются так же для упрощения методики ее расчета. В условиях малопроизводительной вычислительной техники эта методика обеспечивала значительную экономию времени и труда. В настоящее время данная методика служит наглядным образцом иллюстрации свойств средней.

290	3	-40	-2	1	-2
310	9	-20	-1	3	-3
330	15	0	0	5	0
350	12	20	1	4	4
370	6	40	2	2	4
390	6	60	3	2	6
	51			17	9

Данный метод называется так же методом расчета от условного нуля. В качестве условного нуля выбирается произвольное постоянное число А. Обычно это вариант ряда с наибольшей частотой. А=330.
Рассчитываем среднюю по новым вариантам:
.
Пользуясь свойствами средней переходим от условного
к фактической средней величине
.

5. Степенные средние.
Средняя арифметическая величина является частным случаем, который называется степенной средней .
- для несгруппированных данных;
- для сгруппированных данных.
Последовательно придавая k дискретное значение 0, 1, 2, 3, … и т.д. получим различные виды средних.
Если k=-1 степенные средние приобретают вид средней гармонической .
- для несгруппированных данных;
- для сгруппированных данных.
Пример: В течение рабочей смены 3 рабочих изготовляли детали. 1йрабочий затрачивая на изготовление 1 детали – 6 мин., 2й– 8 мин., 3й– 7,5 мин. Определить средние затраты времени на изготовление 1 детали.
Среднюю арифметическую взвешенную нельзя использовать для расчета, так как каждый из рабочих изготавливал за смену разное количество деталей. В числителе формулы отражается количество человеко-силы, а в знаменателе условное количество деталей, изготавливаемых за смену.

Пример: Продавец в течении нескольких дней продавал на рынке морковь. В первые 4 дня цена составляла 6 руб./кг, в последние 5 дней цена поднялась до 7 руб., а оставшаяся морковь была продана за 4,50 руб./кг. Поскольку данные о товарообороте отсутствуют, то для решения задачи применяется средняя гармоническая взвешенная:

При этом число дней продаж моркови по различным ценам рассматривается как показатель условного товарооборота.
Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда частоты ряда выражены в неявном виде.
Если величина k=0 , то степенная средняя приобретает вид средней геометрической .
для несгруппированных данных;
для сгруппированных данных.
Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда отдельные варианты ряда резко отличаются от остальных.
Наиболее часто формулу средней геометрической используют для определения средних валютных курсов, эффективности валютных курсов, реальной эффективности валютных курсов (международная финансовая статистика).
Если k=1 степенная средняя принимает вид средней арифметической, взвешенной и невзвешенной.
Если k=2 , средняя квадрата.
для несгруппированных данных;
- для сгруппированных данных.
Результаты статистического исследования зависят от того, насколько верно избран вид средней. Расчет средних, выполненных на основе одних и тех же данных разными способами дает различные результаты.
В курсе математической статистики доказано, что чем ниже степень средней, тем меньше ее величина. Это называется правилом мажорантности средней .

k

-1

0

1

2

<

<

<

Доказано так же, что чем интенсивней колеблются значения вариантов ряда, тем больше разница между ними.

6. Мода и процентили.
Наряду со средними для характеристики распределения применяют такие показатели как мода и процентили, которые дополняют характеристику (обобщающую) и позволяют сравнивать между собой и находить различия в рядах с одинаковыми средними.
Мода – это наиболее часто встречающийся вариант ряда.
В дискретных рядах распределения модой является вариант, имеющий максимальную частотную характеристику.
В интервальных рядах мода определяется в два этапа. В начале определяется интервал, содержащий моду ( модальный интервал ), а затем рассчитывается значение моды по формуле:
, где
- нижняя граница модального интервала, i – величина этого интервала,
,
,
- частоты модального, предшествующего ему и следующего за ним интервалов.

Для последней таблицы (данные о выработке рабочих токарей):

Медиана (вид процентиля), который занимает серединное положение в ряду распределения. Медиана определяется по формуле:
, где
- нижняя граница интервала, содержащего медиану ( интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 50% суммы частот (в дальнейшем для квартилей, децилей – 25%, 75%, 0,1%, 0,2% и т.д.) ), i – величина этого интервала,
- номер медианы,
- накопленная частота интервала, предшествующего медиане,
- частота медианного интервала.
Поскольку медиана разновидность процентиля то данная формула носит универсальный характер, она может применяться для определения квартилей (Q) и децилей (d).
Квартили (четверти) отсекают от совокупности соответственно 25%, 50% и 75%.
Децили отсекают от совокупности соответственно 10%, 20%, 30% и т.д.
На первом этапе определяется номер процентиля по формуле:
- для ряда четным числом единиц;
- с нечетным числом единиц.
- номер процентиля (порядковый),
- индекс процентиля (выражается десятичной дробью) (
),N– численность совокупности.

Группы магазинов с торговой площадью, кв. м	Число магазинов,	Накопленная частота,
До 100	6	6
100-200	12	18
200-300	27	45
300-400	13	58
400-500	8	66
Свыше 500	5	71
Итого	71

Накопленная частота – это сумма частот данного и всех предшествующих ему интервалов.

Четверть всех магазинов имеет площадь менее 200 кв. метров, а остальные 75% более 200 кв. метров.

Три четверти магазинов имеют торговые площади не превышающие 369,2 кв. метров, остальные больше.