Средняя арифметическая взвешенная равна сумме произведений признака на вес, деленной на сумму веса.
В этой формуле числитель дроби выражает прямую зависимость в результате чего, получается реальный экономический смысл. Например, количество рабочих перемноженное на среднемесячную з/п одного рабочего в конечном итоге представляет собой фонд з/п.
Если показатель будет представлен в виде интервала (з/п в 400-500, 500-600, 600-700…), то при расчетах средней необходимо определить середину интервала по средней арифметической простой, а затем производить последующий расчет.
В расчетах средней арифметической взвешенной применяются следующие методы (приемы):
1. Если значение X уменьшить в одно и то же число раз, то занчение средней увеличится в это же число раз.
1. Если значение X увеличить в одно и то же количество раз, то значение средней уменьшится это же количество раз;
2. Если все значения веса f изменить в несколько раз, то значение средней не изменится.
Если для решения задачи используется 3 метода (приема), то эта задача решена способом моментов.
Вторым видом средних величин является средняя гармоническая, которая применяется в двух формах: простой и взвешенной.
Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда известно отдельные значения признака X и объемы признаков.
Объемом может быть: фонд з/п, валовой сбор, сумма товарооборота, стипендиальный фонд, фактический выпуск продукции. В этой формуле наблюдается обратная связь, т.е. при делении 2-ух показателей получается 3 имеющий экономический смысл. Например, при делении фактического товарооборота на количество проданных товаров мы получим цену товара.
Формула средней гармонической простой:
Эта формула обратная средней арифметической простой и предполагается, что сумма объемов в данном случае равна единице.
Средняя гармоническая взвешенная:
;
Средняя гармоническая взвешенная равна сумме объемов признаков деленная на сумму отношения объема к признаку.
Средняя квадратическая:
Средняя кубическая:
14 Мода и медиана, способы их вычисления.
15 Показатели вариации, расчетные формулы, практическое применение
Структурные средние Это особый вид средних: Мода – значение случайной величины, которая встречается с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду (Mo). Медиана – это вариант, который расположен в середине вариационного ряда. Медиана делит вариационный ряд на две равные части; т.е. со значением признака меньше медианы и со значением признака больше медианы.
В вариационном ряду с нечетным числом показателей, нахождение медианы определяется по формуле:
В интервальном ряду для нахождения значения медианы используется формула линейной интерполяции:
, где
xme– нижняя граница медианного интервала;
ime– медианный интервал;
- половина от общего числа наблюдений;
Sme-1– сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;
fme– число наблюдений в медианном интервале.
Медиана находит свое практическое применение в маркетинге и финансовых расчетах ценных бумаг.
Мода и медиана отличаются от значений средних, совпадая с ними в случаях симметричного распределения частот вариационного ряда.
Как правило, они являются дополнением к средним величинам и используются в математической статистике для анализа рядов распределения. В расчетах медианы значение признака, которое делит ряд на четыре части, рассчитывается в квартелях, на 5 частей – квинтелях, на 10 частей – децелях, на 100 – перцентелях.
Вариацияпредставляет собой изменение цифровых значений признака. Вариация также дополняет средние величины, а средние обобщают вариацию. Это означает, что за каждой средней скрываются количественные различия вариационного признака. В данном случае появляется потребность рассчитать степень варьирования признака.
Ее можно определить путем расчета разницы между максимальным и минимальным значениями признака (размах вариации).
Размах вариации служит лишь приближенной мерой вариации признака, т.е. исчисляется на основе крайних значений, а остальные показатели во внимание не принимаются. Для более полной характеристики степени варьирования признака применяются следующие показатели:
aСреднее линейное отклонение;
aСредее квадратическое отклонение;
aДисперсия;
aКоэффициент вариации.
Среднее линейное отклонение. Это показатель в статистике является абсолютной мерой для исчисления вариации.
Среднеквадратическое отклонение. Применяется более часто и выражается также в абсолютных величинах
Дисперсия представляет собой квадрат среднеквадратического отклонения
Коэффициент вариации является относительной мерой степень варьирования признака, который определятся как отношение среднеквадратического отклонения к среднему показателю (в %).
16 Понятие рядов динамики, их виды, особенности.
17Средние хронологические из рядов динамики
Одной из важнейших задач ст. является изучение анализируемых показателей во времени, их динамика. Эта задача решается с помощью рядов динамики.
Ряд динамики представляет собой ряд расположенных в хронологическом порядке показателей, которые характеризуют время. В каждом ряду динамики есть два основных элемента:
1. Время;
3. Конкретное значение показателя (уровня).
Различают два вида рядов динамики:
1. Моментный;
4. Интервальный;
Показатели, характеризующие явления и процессы на определенный момент времени называется моментным рядом динамики. Например, остатки средств на расчетном счете предприятия на 1.01.., на 1.04, на 1.07, на 1.10.
Показатели, характеризующие явления и процессы за определенный промежуток времени (интервал), называется интервальным рядом динамики. Например, добыча нефти в РФ в млн. тонн (с 90 по 95 г.) 516; 462; 399; 354; 318; 307.
Ряды динамики имеют следующие особенности:
1. Показатели интервального ряда можно суммировать, при этом получится новый интервал с большим абсолютным значением;
5. Чем больше интервал, тем больше его абсолютный значение;
Моментный ряд такими особенностями не обладает, т.к. каждый последующий показатель (уровень) полностью или частично включает в себя каждый предыдущий.
При построении каждого вида ряда динамики необходимо учитытвать следующие правила:
1. Показатели рядов динамики (уровни) должны относиться к одной группе (группировке) и должны быть однородны по экономическому содержанию и границам объекта.
6. Показатели рядов динамики должны быть сопоставимы по территории, по объектам, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии и т.д.
7. Показатели рядов динамики должны быть точными и достоверными.
В ряде случаев при несопоставимости показателей (уровней) используют пересчет данных, а также производят смыкание рядов динамики. При этом получается единый, сравниваемый ряд за весь период времени.
Средние из рядов динамикиназываются средними хронологическими, т.к. они характеризуют показатели во времени. В расчетах средних хронологических различают начальный уровень ряда x1и конечный уровень ряда xn. Рассмотрим два вида средних хронологических:
1. Средняя хронологическая из моментного ряда динамики
2. Средняя хронологическая из интервального ряда динамики.
Средняя хронологическая из моментного ряда динамики равна сумме показателей уровней, деленных на (n-1), причем начальный и конечный уровни ряда берутся в половинном значении, где n – число показателей (уровней) ряда.
Средняя хронологическая из интервального ряда динамики равна сумме показателей уровней деленных на число уровней (ср. арифметическая простая)
18-19 Показатели рядов динамики. Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики.
20Экономические индексы, их классификация.
При анализе рядов динамики выявляется и измеряются закономерности развития общественных явлений во времени. Эти закономерности четко не проявляются на каждом конкретном уровне, а лишь в тенденции в достаточно длительном периоде. На основные закономерности накладываются другие случайные, иногда сезонные влияния, влияние основной тенденции в изменении уровней, именуемой трендом, является одной из главных задач анализа рядов динамики.
При анализе рядов динамики рассчитывают четыре основные показателя:
1. Абсолютный прирост;
2. Тема прироста (или снижения);
3. Темпы роста (или снижения);
4. Абсолютное значение содержания 1% прироста.
Абсолютный прирост – это разница между показателями, которые исчислены двумя методами.
Темп роста – это отношение показателей, которые исчислены двумя методами.
Темп прироста – это разница между темпами роста и 100%, или – это отношение абсолютного прироста в период в котором сравнивают показатели к уровню ряда, рассчитанному в %.
Абсолютное значение – это отношение абсолютного прироста к темпу прироста, рассчитанных цепным способом.
Существует два метода расчета рядов динамики:
1. Базисный;
2. Цепной;
При базисном – все показатели сравниваются с начальным, при цепном каждый последующий с каждым предыдущим.
Индексы– это важнейшие показатели ст., которые применяются в прогнозировании, при анализе данных социальных, политических и других сфер жизни общества. С помощью индексов сравниваются несопоставимые элементы во времени.
Индексы также сравниваются в разрезе различных территорий (территориальные индексы). Особую актуальность они приобретают в современных условиях. В связи с ростом цен на потребительские товары и услуги понижается жизненный уровень слабо защищенных слоев населения.
С целью социальной защиты населения был принят закон об индексации денежных доходов и сбережений граждан России. В нем дано понятие индексации, определены объекты индексации, показан расчет потребительских цен, определены размеры повышения доходов, индексация сбережений и т.д.
Т.о., индекс – это относительный показатель, который характеризует непосредственно несоизмеримые показатели во времени.
Различают два вида индексов: индивидуальные и общие. В состав общих входят групповые, агрегатные и средние индексы.
Индивидуальные индексы представляют собой отношение показателя отчетного периода к базисному (темп роста), кроме индекса производительности труда по одному элементу или виду.
Рассмотрим формулы построения индивидуальных индексов.
P0– цена продукции базисного периода
P1– цена продукции отчетного периода.
index – i – индивидуальный индекс.
Индивидуальный индекс себестоимости
Z0– себестоимость продукции базисного периода;
Z1– себестоимость продукции отчетного периода;
Индекс количества продукции:
q0– количество продукции базисного периода;
q1– количество продукции отчетного периода;
Индекс трудоемкости:
t0– производительность труда базисного периода;
t1– производительность труда отчетного периода;
Индекс товарооборота фактических цен.
Товарооборот – это процесс продажи товара по определенной цене, т.е. выручка.
T0– выручка (товарооборот) базисного периода;
T1– выручка (товарооборот) базисного периода;
Как правило, индекс выражается в % и показатели базисного периода обозначаются через 0, показатели отчетного через 1.
21Общие, групповые индексы, порядок их построения.
22Средние индексы, их практическое применение.
Среди общих индексов важное значение имеет агрегатный индекс. Агрегатный индекс – это отношении двух сумм, каждая из которых есть произведение индексируемой величины (индивидуального индекса) на соизмеритель. Индексируемые величины будут разными, а соизмеритель один и тот же. В агрегатных индексах цен, себестоимости и производительности труда в качестве соизмерителя берется количество продукции отчетного периода. В агрегатном индексе количество продукции (физический объем товарооборота) в качестве соизмерителя берется цена или себестоимость базисного периода. В агрегатном индексе фактического товарооборота соизмеритель отсутствует. Рассмотрим агрегатные индексы:
а) агрегатный индекс цен
; q – соизмеритель
б) агрегатный индекс себестоимости продукции
; z – себестоимость, q – количество продукции.
в) агрегатный индекс производительности труда
г) агрегатный индекс количества продукции (индекс физического объема товарооборота)
; p0– цена базисного периода или себестоимости
д) Агрегатный индекс товарооборота фактических цен (соизмеритель отсутствует)
Сумма экономии или потерь рассчитывают из агрегатных индексов путем разницы между показателями знаменателя и числителя в агрегатных индексах цен и себестоимости.
И как разница между показателями числителя и знаменателя других индексов
Т.е. это абсолютный прирост или потери.
Если задача состоит в получении характеристик применения изучаемого явления во всех последующих периодах по сравнению с начальным, то вычисляются базисные индексы.
Если требуется охарактеризовать последовательное изменение изучаемого явления из периода в период, то вычисляются цепные индексы.
- базисный индекс;
- цепной;
Средние индексы могут быть получены путем преобразования агрегатных индексов и индивидуальных.
Существует два вида средних индексов:
1. Средний арифметический индекс;
2. Средний гармонический индекс;
Средний арифметический индекс применяется в тех случаях, когда известно готовое произведение (выручка от реализации продукции) только базисного периода, а также изменение индивидуального индекса. Все преобразования будут производится в числителе агрегатного индекса. Рассмотрим средний арифметический индекс цен:
Индивидуальный индекс цен
1)
; 2)
; 3)
;
Среднеарифметический индекс цен.
Среднегармонический индекс применяется в тех случаях, когда известно готовое произведение отчетного периода или отчетного и базисного периода одновременно, а также изменение индивидуального индекса. Преобразования производятся в знаменателе агрегатного индекса.Среднегармонический индекс цен.
1)
; 2)
; 3)
;
23Взаимосвязь индексов
24 Индексы постоянного, переменного состава, структурных сдвигов.
В природе и обществе существует взаимосвязи между явлениями: прямая и обратная связи. В расчетах индексов также используются эти две взаимосвязи. Рассмотрим прямую взаимосвязь:
aЕсли перемножить агрегатный индекс цен и количества продукции, то в результате получим агрегатный индекс товарооборота в фактических ценах
;
aЕсли перемножить агрегатные индексы себестоимости и количества продукции, то в результате получим индекс затрат.
;индекс затрат
Рассмотрим обратную связь в расчетах индексов. Обратная связь с точки зрения математики представляет собой отношение показателей, т.е. если известны индекс товарооборота в фактических ценах и индекс цены, то мы можем найти индекс количества реализованной продукции
1)
или
;
2)
Все расчеты при взаимосвязи производится в коэффициентах, а ответ дается в %.
Для анализа изменения средней выработки под влиянием факторов используется система средних индексов или система агрегатных индексов, в которых в качестве индексируемой величины (та, которая меняется) выступает уровень ПТ отдельных единиц совокупности, а в качестве весов – количество таких единиц с разными уровнем ПТ или их удельный вес в общей численности (см. индексы переменного и постоянного состава)
Индекс переменного состава предполагает:
·выработку продукции отчетного и базисного периода;
·удельный вес затрат рабочего времени отчетного и базисного периода.
В общем виде индекс переменного состава записывается следующим образом:
aИндекс постоянного состава включает выработку отчетного и базисного периода, а также удельный вес по затратам труда только отчетного периода.
aИндекс структурных сдвигов. Включает выработку продукции периода и удельного веса затрат труда отчетного периода и базисного.
26Виды связей между явлениями. Графический метод анализа связей между явлениями
Экономисту, менеджеру, банковскому работнику статистика необходима для изучения общественных явлений во взаимосвязи. В настоящее время в период развития рыночных отношений особое внимание в ст. уделяется совершенствованию показателей во всех областях жизни общества и особенно экономики. Прежде чем рассмотреть взаимосвязи между явлениями и процессами необходимо определить полную (статистическую) и неполную (корреляционную) связи. Рассмотрим следующие примеры и установим связь между ними.
1. Связь между ценой и количеством товара (прямая). С точки зрения математики при перемножении данных показателей эта прямая связь имеет экономический смысл, т.е. выручку или фактический товарооборот. Но если дана выручка и количество проданных товаров, то мы имеем обратную связь. Обратную связь с точки зрения математики представляет собой отношение.
2. Связь между объемом продукции и стоимостью основных производственных фондов. Связь прямая так как с увеличением стоимости фондов увеличивается выпуск продукции.
3. Связь между себестоимостью продукции и количеством – прямая, т.к. при перемножении этих показателей получаем общую сумму затрат.
4. Связь между датой погашения, ценой облигации и ее доходностью. Связь прямая – обратная. Чем ближе срок погашения, тем больше рыночная цена облигации, тем меньше ее доходность.
Т.о., в основе ст. связи лежит качественный анализ изучаемых явлений. В основе корреляционной связи лежит схоатическая связь (неточно просматривающиеся показатели). Это первый этап изучения взаимосвязи между явлениями. второй этап – построение модели связи, которая базируется на ст. методах. Третий этап изучения взаимосвязи – объяснение результатов, связанных с качественными особенностями изучаемых явлений и процессов. Ст. разработала множество методов изучения взаимосвязей, выбор которых зависит от целей и поставленных задач. Признаки между явлениями и процессами классифицируются на:
1. Результативные, которые меняются под действием факторных признаков;
2. Факторные, которые обуславливают применение других, связанных с ними признаков;
Эта связь между двумя признаками характеризуется теснотой связи, направлением и аналитическим выражением. Для степени тесноты связи определяют как полную (функциональную) так и неполную связи, когда одному и тому же значению фактора соответствуют разные значения результирующего фактора. По направлению различают прямые, когда оба фактора или признака изменяются одновременно в одну и ту же сторону, либо увеличивается, либо уменьшается; и обратные, когда направления изменения признаков противоположны, т.е. при увеличении одного другой уменьшается и наоборот. По аналитическому выражению выделяют прямолинейные и криволинейные связи, когда рассматривается уравнение кривой, параболы и т.д.
27Корреляционный метод анализа между явлениями.
33Парная корреляция и линейная регрессия.(часть, см. 32)
При проведении корреляционного анализанеобходимо отобрать наиболее существенные признаки, установить связь между ними (причинно-следственную) определить форму связи, выбрать математическое уравнение для отражения данных взаимосвязи. При этом необходимо также рассчитать числовые характеристики корреляционной связи, рассмотреть ст. оценку показателей регрессии и тесноты связи. При исследовании взаимосвязи, т.е. при установлении характера взаимосвязи между признаками, кроме аналитической группировки большое значение имеет графический метод. Отложив на оси абсцисс значение факторного признака 'x', а на оси ординат значение результативного признака 'y', и получив в корреляционном пространстве точки 'x' и 'y', получим корреляционное поле. Характер расположения этих точек дает представление о направлении, силе связи, форме связи, а также позволяет построить уравнение парной зависимости.
а) Прямая линия:
б) Парабола:
в) Гипербола:
- результативный признак; x – факторный признак; a0,a1,a2… - параметры уравнения (коэффициенты регрессии), которые позволяют рассмотреть среднее значение, т.е. показывают среднее изменение зависимой переменной y от x при изменении независимой переменной x на 1. Параметры уравнения (свободные члены) определяются путем решения системы нормальных уравнений, полученных на основе метода наименьших квадратов:
а) прямая:
;
;
б) парабола
Наряду с построением и решением уравнения связи определяется степень тесноты этой связи при помощи коэффициента линейной регресси r, корреляционного отношения h и индекса корреляции I.
Рассмотрим формулы коэффициента корреляции для несгруппированныхданных:
