РефератБар.ру: | Главная | Карта сайта | Справка
Построение экономической модели с использованием симплекс-метода. Реферат.

Разделы: Математические методы и модели исследования операций | Заказать реферат, диплом

Полнотекстовый поиск:




     Страница: 3 из 3
     <-- предыдущая следующая -->

Перейти на страницу:
скачать реферат | 1 2 3 





Положительное значение остаточной переменной указывает нанеполное использование соответствующего ресурса , т . е . данныйресурс является недефицятным. Если же остаточная переменная рав-на нулю , это свидетельствует о полном потреблении соответствующе-го ресурса. Из таблицы видно , что наши ресурсы являются дефицитными . В случае недефицитности любое увиличение ресурсов сверх установленного максимального значения привело бы лишь к тому , что они стали бы еще более недефнинтными . Оптимальное решение задачи при этом осталось бы неизменным.
Ресурсы, увеличение запасов которых позволяет улучшить ре-шение ( увеличить прибыль ) , — это остаточные переменные S1 и S2 , по-скольку из симплекс-таблицы для оптимального решения видно ,что они дефицитные . В связи с этим логично поставить следующийвопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочте-ние при вложении дополнительных средств на увеличение их запа-сов , с тем чтобы получить от них максимальную отдачу ? Ответ наэтот вопрос будет дан в следующем подразделе этой главы , где рас-сматривается ценность различных ресурсов .


Ценность ресурса


Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения опти-мального значения Z , приходящегося на единицу прироста объемаданного ресурса .
Информация для оптимального решения задачи представлена в симплекс-таблице . Обратим внимание на значения коэффициентов Z - уравнения , стоящих при переменных начального базиса S1 и S2 . Выделим для удобства соответстзующую часть симплекс-таблицы :



Базисные переменные

Z
X1
X 2
S1
S2
Решение

Z
1
0
0
27/110
5/22
2455/11



Как следует из теории решения задач ЛП , ценность ресурсов всегда можно определить по значениям коэффициентов при переменных начального базиса , фигурирующих в Z - уравнении оптимальной симплекс-таблицы , таким образом Y1 = 27/110 , а Y2 = 5/22 .
Покажем , каким образом аналогичный результат можно получить непосредственно из симплекс-таблицы для оптимального решения . Рассмотрим Z - уравнение симплекс-таблицы для оптимального решения нашей задачи


Z = 2455/11 - ( 27/110S1 + 5/22S2 ) .

Положительное приращение переменной S1 относительно ее текущегонулевого значения приводит к пропорциональному уменьшению Z , причем коэффициент пропорциональности равен 27/110 . Но , как следует из первого ограничения модели :

5X 1 + 100X 2 + S1 = 1000
увеличение S1 эквивалентно снижению количества денег выделеных на рекламу ( далее мы будем использовать в тексте , как первый ресурс ) . Отсюда следует , что уменьшение количества денег выделеных на рекламу вызывает пропорциональное уменьшение целевой функции с тем же коэффициентом пропорциональности , равным 27/110 . Так какмы оперируем с линейными функциями , полученный вывод можнообобщить , считая , что и увеличение количества денег выделеных на рекламу ( эквивалентное введению избыточной переменной S1 < 0 ) приводит к пропорциональному увеличению Z с тем же коэффициентом пропорциональности , равным 27/110 . Аналогичные рассуждения справед-ливы для ограничения 2 .

Несмотря на то что ценность различных ресурсов , определяемаязначениями переменных Yi , была представлена в стоимостном выражении , ее нельзя отождествлять с действительными це-нами , по которым возможна закупка соответствующих ресурсов .Несмотря на то что ценность различных ресурсов , определяемаязначениями переменных Yi , была представлена в стоимостном выражении , ее нельзя отождествлять с действительными це-нами , по которым возможна закупка соответствующих ресурсов .На самом деле речь идет о некоторой мере , имеющей экономическуюприроду н количественно характеризующей ценность ресурса только относительно полученного оптимального значения целевой функции .При изменении ограничении модели соответствующие экономическиеоценки будут меняться даже тогда , когда оптимизируемый процесспредполагает применение тех же ресурсов . Поэтому при характерис-тике ценности ресурсов экономисты предпочитают использоватьтакие терминыт , как теневая цена , скрытая цена , или более специ-фичный термин — двойственная оценка .
Заметим , что теневая цена ( ценность ресурса ) характеризует ин-тенсивность улучшения оптимального значения Z . Однако при этомне фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурса ,при которых интенсивность улучшения целевой функции остаетсяпостоянной . Для большинства практических ситуаций логично пред-положить наличие верхнего предела увеличения запасов , при пре-вышении которого соответствующее ограничение становится избы-точным , что в свою очередь приводит к новому базисному решениюи соответствующим ему новым теневым ценам . Ниже определяетсянитервал значений запасов ресурса , при которых соответствую-щее ограничение не становится избыточным .

Максимальное изменение запаса ресурса

При решении вопроса о том , запас какого из ресурсов следуетувеличивать в первую очередь , обычно используются теневые цены Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса ,при которых теневая цена данного ресурса , ( фигурирующая в заклю-чительной симплекс-таблице , остается неизменной , необходимо выполнить ряд дополнительных вычислений . Рассмотрим сначаласоответствующие вычислительные процедуры , а затем покажем , кактребуемая информация может быть получена из симплекс-таблицыдля оптимального решения .
В нашей задаче запас первого ресурса изменился на D1 т. е. запас бюджета составит 1000 + D1 . При положительной величине D1 запас данного ресурса увеличивается , при отрицательной — уменьшается . Как правило , исследуется ситуация , когда объем ресурса увеличивается ( D1 > 0 ) , однако , чтобы получить результат в общем виде , рассмотрим оба случая .
Как изменится симплекс-таблица при изменении величины за-паса ресурса на D1 ? Проще всего получить ответ на этот вопрос .если ввести D1 в правую часть первого ограничения начальной сим-плекс-таблицы и затем выполнить все алгебраические преобразова-ния , соответствующие последовательности итераций . Посколькуправые части ограничений никогда не используются в качестве ведущих элементов , то очевидно , что на каждой итерации D1 будетоказывать влияние только на правые части ограничений .




Уравнение

Значения элементов правой части на соответствующих итерациях





( начало вычислений )

1
2 ( оптимум )

Z
0
0
2455/11

1
1000
1000 + D1
1000/55 + D1

2
0
0
91/11



Фактически вce изменения правых частей ограничений , обуслов-ленные введением D1 , можно определить непосредственно по данным ,содержащимся в симплекс-таблицах . Прежде всего заметим , чтона каждой итерации новая правая часть каждого ограничения пред-ставляет собой сумму двух величин: 1) постоянной и 2) члена , ли-нейно зависящего от D1 . Постоянные соответствуют числам , которыефигурируют на соответствующих итерациях в правых частях ограничений симплекс-таблиц до введения D1 . Коэффициенты при D1 во вторых слагаемых равны коэффициентам при S1 на той же итерации . Так , например , на последнеи итерации ( оптимальное решение ) постоянные ( 2455/11 ; 1000/55 ; 91/11 ) представляют собои числа , фигурирующие в правых частях ограничении оптимальной симплекс-таблицы до введения D1. Коэффициенты ( 27/110 ; 1/55 ; 1/110 ) равны коэффициентам при S1 в той же симплекс-таблице потому , что эта переменная связана только с первым ограничением . Другими словами , при анализе влияния изменений в правой части второго ограничения нужно пользоваться коэффициентами при переменной S2 .
Какие выводы можно сделать из полученных результатов?Так как введение D1 сказывается лишь на правой части симплекс- Какие выводы можно сделать из полученных результатов?Так как введение D1 сказывается лишь на правой части симплекс-таблицы , изменение запаса ресурса может повлиять только на допустимость решения . Поэтому D1 не может принимать значений ,при которых какая-либо из ( базисных ) переменных становится отри-цательной . Из этого следует , что величина D1 должна быть огра-ничена таким интервалом значений , при которых выполняется ус-ловие неотрицательности правых частей ограничений в результи-рующей симплекс-таблице , т . е .
X1 = 1000/55 + ( 1/55 ) D1 = > 0 ( 1 )
X2 = 91/11 + ( 1/110 ) D1 => 0 ( 2 )
Для определения допустимого интервала изменения D1 рассмо-трим два случая .
Случай 1: D1 = > 0 Очевидно , что оба неравнества при этом условии всегда будут неотрицательными .
Случай 2: D1 < 0 . Решаем неравенства : ( 1 )
( 1/55 ) D1 => - 1000/55 . Из этого следует , что D1 => - 1000
( 2 )
( 1/110 ) D1 => - 91/11 . Из этого следует , что D1 => - 1000

Объединяя результаты , полученные для обоих случаев , можносделать вывод , что при - 1000 <= D1 <= + Ґ решение рассматриваемой зада-чи всегда будет допустимым , любое значение D1 , выходящее запределы указанного интервала , приведет к недопустимости решения иновой совокупности базисных переменных .
Теперь рассмотрим в каких пределах может изменяться запас ресурса 2 анализ проведем по аналогичной схеме :
Запас 2-ого ресурса изменился на D2 т . е . запас рекламного времени составит 0 + D2 . Как изменилась симплекс-таблица при изменении величины запаса ресурса на D2 проиллюстрировано ниже .



Уравнение

Значения элементов правой части на соответствующих итерацияхЗначения элементов правой части на соответствующих итерациях





( начало вычислений )

1
2 ( оптимум )

Z
0
0
2455/11

1
1000
1000
1000/55

2
0
0 + D2
91/11 + D2



Найдем интервал ограничивающий величину D2

X1 = 1000/55 - ( 50/55 ) D2 ( 1 )
X2 = 91/11 + ( 1/22 ) D2 ( 2 )

Для определения допустимого интервала изменения D1 рассмо-трим два случая .
Случай 1: D2 = > 0 Решаем неравенства : ( 1 )
( 50/55 ) D2 <= 1000/55 из этого неравенства следует , что D2 <= 20
( 2 )
Очевидно , что 2-ое уравнение неотрицательно на данном участке .
Объединяя 2 уравнения для Случая 1 мы получим интервал для D2 .
D2 О [ 0 ; 20 ]
Случай 2: D2 < 0 . Решаем неравенства : ( 1 )
( 50/55 ) D2 => - 1000/55 . Из этого следует , что D2 <= 20
( 2 )
( 1/22 ) D2 => - 91/11 . Из этого следует , что D2 => - 200
Объединяя 2 уравнения для Случая 2 мы получим интервал для D2 .
D2 О [ - 200 ; 0 ]
Объединяя 2 случая мы получим интервал [ - 200 ; 20 ]


Максимальное изменение коэффициентов удельной
прибыли ( стоимости )

Наряду с определением допустимых изменений запасов ресур-сов представляет интерес и установление интервала допустимыхизменений коэффициентов удельной прибыли ( или стоимости ) .Следует отметить , что уравнение целевой функции никогда не используется в качестве ведущего уравнения . Поэтому лю-бые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияниетолько на Z-уравнение результирующей симплекс-таблицы . Этоозначает , что такие изменения могут сделать полученное решениенеоптимальным . Наша цель заключается в том , чтобы найти интер-валы значений изменений коэффициентов целевой функции ( рас-сматривая каждый из коэффициентов отдельно ) , при которых оп-тимальные значения переменных остаются неизменными .
Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисле-ния , положим , что удельный объем сбыта , ассоциированной с переменной
X1 изменяется от 1 до 1 + d1 где d1 может быть как положительным , так и отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:
Z = ( 1 + d1 ) X1 + 25X2
Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы ивыполнить все вычисления , необходимые для ( получения заключн-тельной симплекс-таблицы , то последнее Z-уравнение будет выгля-деть следующим образом:



Базисные переменные

X1
X2
S1
S2
Решение

Z
0
0
27/110+1/55 d1
5/22-50/55 d1
2455/11+1000/55 d1



Коэффициенты при базисных переменных X1 , X2 и остаточных я равными нулю . Это уравнение отличается от Z-уравнения до введения d1 , только наличием членов , содержащих d1 . Коэффициенты при d1 равны кoэффициентам при соответствующих переменных в Z-уравнении симплекс-таблицы для полученного ранее оптимального решения



Базисные переменные

X1
X2
S1
S2
Решение

X1
1
0
1/55
-50/55
1000/55



Мы рассматриваем X1 - уравнение , так как коэффициент именно приэтон переменной в выражении для целевои функции изменилсяна d1 .
Оптимальные значения переменных будут оставаться неизмен-ными при значениях d1 , удовлетворяющих условию неотрицатель-ности ( задача на отыскание максимума ) всех коэффициентов при не-базисных переменных в Z-уравнении . Таким образом , должны выполняться следующие неравенства :
27/110 + 1/55 d1 => 0
5/22 - 50/55 d1 => 0
Из первого неравенства получаем , что d1 => - 13,5 , а из второго следует что d1 <= 1/4 . Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента C1 в виде следующего соотношения : - 13,5 <= Из первого неравенства получаем , что d1 => - 13,5 , а из второго следует что d1 <= 1/4 . Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента C1 в виде следующего соотношения : - 13,5 <= d1 <= 1/4 . Та-ким образом , при уменьшении коэффициента целевой функции припеременной X1 до значения , равного 1 + ( - 13,5 ) = - 12,5 или при его увеличении до 1 + 13,5 = 14,5 оптимальные значения переменных остаютсянеизменными . Однако оптимальное значение Z будет изменяться ( в соответствии с выражением 2455/11 + 1000/55 d1 , где - 13,5 <= d1 <= 1/4
X2 изменяется от 25 до 25 + d2 где d2 может быть как положительным , так и отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:
Z = ( 25 + d2 ) X2 + X1
Все предыдущее обсуждение касалось исследования изменения коэффициента при переменной , которой поставлено в соответствие ограничение , фигурирующее в симплекс-таблице . Однако такое ограничение имеется лишь в том случае , когда данная переменная является базисной ( например X1 и X2 ) . Если переменная небазисная , то в столбце , содержащем базисные переменные , она не будет представлена .
Любое изменение коэффициента целевой функции при небазисной переменной приводит лишь к тому , что в заключительной симплкс-таблице изменяется только этот коэффициент . Рассмотрим в качестве иллюстрации случай , когда коэффициент при переменной S1 ( первой остаточной переменной ) изменяется от 0 до d3 . Выполнение преобразований , необходимых для получения заключительной симплекс таблицы , приводит к следующему результирующему Z-уравнению :



Базисные переменные

X1
X2
S1
S2
Решение

Z
0
0
27/110+1/55 d1
5/22
2455/11






     Страница: 3 из 3
     <-- предыдущая следующая -->

Перейти на страницу:
скачать реферат | 1 2 3 

© 2007 ReferatBar.RU - Главная | Карта сайта | Справка