b– вектор весов активов в портфеле,
R– вектор доходностей данных активов.
Дублирующим портфелем является портфель с весами, которые минимизируют вариацию данного портфеля нау. Другими словами,bподбирается таким образом, чтобы минимизировать
при заданной
(где
- коэффициент регрессииrнау). Т.к.
, минимизация
эквивалентна минимизации
, что эквивалентно максимизации
(где– коэффициент корреляции междууиr). Т.к.R2в простой регрессии является
и т.к. метод наименьших квадратов максимизируетR2, решение данной задачи максимизации идентично уравнению регрессии, построенному с помощью МНК. 2.3 Дублирующие портфели для непредвиденных изменений
На основе данной теории можно сформировать портфель с непредвиденными доходностями, которыми максимально коррелируют с непредвиденным компонентом будущего значения переменнойу. Таким образом, основной переменной являются «новости» оyt+k,гдеyt+k– макроэкономическая переменная, например темп инфляции в период t+k. Новости являются чем-то новым в ожиданиях относительноyt+k, причем
. Например,
может представлять собой новости, о которых уведомлен рынок в июле 2002 года о темпе инфляции между июлем 2002 и июлем 2003 года.
– доходность дублирующего портфеля, где
и
– доходности с конца периодаt-1до конца периодаt. Дублирующий портфель формируется на основе непредвиденных доходностей базовых активов. Непредвиденная доходность – это действительная доходность за вычетом ожидаемой доходности с учетом того, что
. Весаbв портфеле выбираются таким образом, что
максимально коррелирует с
.
Оценивание дублирующих новости портфелей является немного более сложным процессом, чем оценивание простых дублирующих портфелей. Всегда можно написать проектное уравнение новостей на неожиданную составляющую доходности. Ключевым предположением является то, что изменения в доходностях отражают изменения в ожиданиях относительно значений переменных в будущем, т.е. ненулевое решение в уравнении:
, (2.1)гдеht– составляющая новостей, ортогональная неожиданному компоненту доходности.
Т.к. неожиданная составляющая доходности активов отражает новости по поводу будущего денежного потока и дисконтных ставок, векторабудет ненулевым для любой переменной, коррелированной с будущими денежными потоками и дисконтными ставками.
Из уравнения (2.1) может показаться, что необходимо определить
для того, чтобы построить регрессию. К счастью, этого можно избежать, и все, что необходимо для оценивания регрессии, – это
(непредвиденный компонент доходности в периодt).
Реализация переменнойyt+kможет быть переписана как сумма ожиданий в периодt-1, непредвиденных изменений в ожиданиях в периодtи с периодаtдоt+k.
(2.2)
Здесь следует сделать второе предположение о том, что ожидаемые доходности базовых активов в периодtявляются линейной функцией отZt-1– вектора контрольных переменных, значения которых известны в периодt-1:
(2.3)
Т.к. предположение, содержащиеся в уравнении (2.3) является потенциальной причиной ошибки спецификации модели, можно ожидать, что эмпирические результаты применения данной ошибочной модели будут относительно грубы, т.к. доходности активов достаточно непредсказуемы на коротком горизонте прогнозирования.
Таким образом, для дальнейшего удобства определим проектное уравнение лагированных ожиданий у как лагирование контролируемые переменных:
(2.4)
Объединяя уравнения (2.1) – (2.4), получаем:
(2.5)гдеb = a,c = f – adи
.
Уравнение (2.5) является уравнением регрессии с будущим значением у в левой части и доходностью в периодtи значением контрольных переменных в периодt-1в правой. Это уравнение состоятельно, т.к. все три составляющие
по определению ортогональны как
, так и
.
МНК-регрессия, обозначенная уравнением (2.5), приводит кb
– портфелю, непредвиденный компонент которого максимально коррелирует с
. . В диссертации я предполагаю оценивать уравнение (2.5) и объяснить свойства получившихся дублирующих портфелей. Уравнение (2.5) практически не имеет теоретического смысла и зависит только от предположения, что изменения в ожиданиях на счет будущего значенияунаходят отражение в доходности активов, и то, что ожидаемая доходность активов является функцией лагированных контрольных переменных.
Здесь можно сделать несколько комментариев на счет практического применения уравнения (2.5). Во-первых, предполагается использование доходности портфеля с нулевыми издержками
. Использование портфеля с нулевыми издержками означает, что нет необходимости накладывать ограничения на веса портфеля. Конечный дублирующий портфель является незатратным, т.к. является линейной комбинацией портфелей с нулевыми издержками.
Во-вторых, предполагается использовать в качестве базы доходности активов за месяц. Используя более длинные горизонты для базовых активов (к примеру, годовые доходности) следует быть более осторожным, т.к. с увеличением интервала повышается предсказуемость доходностей и оценки регрессии могут стать более чувствительными к отклонению от уравнения (2.3).
В-третьих, может показаться, что следует отобраться только такие базовые активы, доходности которых является наиболее информативными в плане объяснения ожиданий будущего значенияу. Но в данном случае важным моментом является то, что различные активы имеют разные чувствительности к будущему значениюу. Таким образом, регрессия должна являться линейной комбинацией доходностей активов, которые хеджируют общую составляющую вариации доходности, которая некоррелирована с будущим значениему.
В-четвертых, главной причиной выбора контролируемых переменных должна являться модель ожидаемой доходности, т.е.
должна включать переменные, которые прогнозируют доходность базовых активов. Если же доходности активов полностью непредсказуемы, или если
некоррелирована с
, не следует включать вообще никаких контролируемых переменных. Вспомогательной ролью лагированной контролируемой переменной в уравнении (2.5) является помощь в объяснении будущего значенияу. Включая в
переменные, коррелирующие с
, можно уменьшить вариацию остатков в уравнении (2.5) и, таким образом, более точно оценить параметрb.
В-пятых, добавление переменных в
и
сопряжено с издержками, т.к. чем больше переменных включается, тем более остро встает проблема практического объяснения и ложных выводов. 3 ОБЗОР ПОДХОДОВ В ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИКИ ДОХОДНОСТИ
Одним из применений дублирующих портфелей является хеджирование экономического риска существующих активов. Альтернативный подход – это создание абсолютно новых активов, соотносящихся с экономическими переменными. Экономические дублирующие портфели, использующие существующие ликвидные активы, облегчают данную задачу, т.к. дублирующие портфели помогают эмитентам новых ценных бумаг частично хеджировать себя от экономического риска.
Другим практическим применением экономических дублирующих портфелей является анализ взаимосвязи экономических переменных и цен активов. Исследования этого вопроса в экономике проходили по трем направлениям: с использованием текущих экономических параметров, с использованием будущих значений данных параметров и с использованием и тех и других в векторной авторегрессии. 3.1 Использование текущих значений показателей
Первый подход включает в себя доходности активов современные значения экономических параметров. Примером данного подхода является работа Chen, Roll and Ross (1986), в которой делается вывод, что ковариация с ростом промышленного производства, инфляции и доходности облигаций приводит к премии за риск.
К сожалению, попытки составить факторный портфель (factor mimicking portfolio) для макроэкономических показателей не увенчались успехом. Chan, Karceski и Lakonishok (1998) сконструировали портфели путем сортировки ценных бумаг по месячной текущей корреляции за пятилетний период. Они сформировали портфели, основанные на инфляции и промышленном производстве. После изучения доходности портфелей был сделан вывод, что макроэкономические факторы являются шумом и неразличимы со случайно генерируемыми портфелями. 3.2 Использование будущих макроэкономических переменных
Второй подход представляет собой исследование регрессии текущих доходностей активов на будущие значения экономических показателей. Примером данного подхода служат работы Fama (1981, 1990), где проводится оценка того, насколько сильно вариация доходности на какой-то тестовый актив
зависит от новостей о будущих экономических условиях.
Соотношение, которое данный подход исследует, следующее:
(3.6)где
также измеряет ожидаемую доходность тестируемого актива.
Ошибка
отражает доходность тестируемого актива, которая не связана с изменениями в ожиданиях относительноу.
Т.к.
неизмеримо, регрессия, которой действительно следует данный подход, – это замена реального значения переменнойув будущем в терминах новостей в уравнении (3.1):
(3.2)
Используя уравнение (2.2), получаем
. Т.к.vtкоррелированна с регрессором в уравнении (3.2), оценивание данного уравнения приведет к ошибочным выводам оа1и оценочным свойствамut.
Применение экономического дублирующего портфеля в данном вопросе – это построение регрессии тестируемого актива на дублирующий портфель для новостей и отслеживаемой переменной для ожидаемой доходности. Т.е. экономический дублирующий портфель, являющийся аналогом уравнения (3.2), выглядит следующим образом:
(3.3)гдеbопределяется из уравнения (2.5).
Очевидно и соотношение между этими двумя подходами: уравнение (3.3) является не чем иным как оцениванием уравнения (3.2) с использованием инструментальной переменной, где в качестве инструмента выступает
.
В уравнении (2.5), хорошим инструментом является что-либо, одновременно коррелированное с
и некоррелированное сvt. Доходность дублирующего портфеля удовлетворяет первому критерию, т.к. коррелированна с исследуемым объектом. Частично также эта доходность удовлетворяет и второму критерию, т.к. она некоррелирована с
. К сожалению, доходность дублирующего портфеля не является абсолютно подходящей инструментальной переменной, т.к. возможна корреляция с
.
может коррелировать с
, потому что обе составляющие извлекаются из доходности активов и могут отражать общую вариацию доходности, которая некоррелирована с новостями о состоянии исследуемого объекта. 3.3 Применение векторной авторегрессии
Данное направление в исследовании факторов, влияющих на доходность активов представлено серией работ (на пример Campbell (1991), Cambell и Ammer (1993), Campbell и Mei (1993)). Как и в первом подходе, используются непредсказанные изменения в текущих значениях переменных для объяснения текущих доходностей активов. Аналогично второму подходу, данное направление сосредоточено на том, как изменения ожиданий будущих значений экономических параметров влияют на доходность. Качественно новым здесь является применение векторной авторегрессии (VAR) для оценивания изменения в прогнозируемых будущих переменных и использование оценок изменений в прогнозировании доходности активов.
Кэмпбелл для объяснения поведения доходности использует текущие значения различных экономических переменных. Он применяет как доходность прогнозируемых переменных, так и значения этих переменных (в качестве таких переменных взяты уровень инфляции, ставка процента, трудовой доход и будущая доходность); а затем тестирует являются ли непредвиденные изменения в данных переменных факторами доходности активов.
Процедура векторной авторегрессии для определения влияния факторов представляет собой специальную динамическую модель, включающую все переменные системы. Это требование приводит к потенциально возможной неправильной спецификации модели. В то время как применение дублирующих портфелей позволяет выбирать данные прямо из уравнения регрессии без необходимости обращения к полному описанию процесса, генерирующих временные ряды. 4 ХАРАКТЕРИСТИКА И ОТБОР ФАКТОРОВ В МОДЕЛЬ 4.1 Отбор факторов для построения дублирующего портфеля
Проблема выявления того, какие факторы наилучшим образом отражают систематическую часть ковариации доходностей, является центральной в применении мультифакторной модели ценообразования активов.
Популярность факторных моделей возросла вместе с развитием с индустрии инвестиций. Они широко применяются для оптимизации портфельного риска.
Центральным практическим вопросом является, какие факторы являются наиболее подходящими для объяснения общих изменений в доходностях. Одним из пунктов составления дублирующего портфеля для прогнозирования должно быть нахождение набора факторов, которые отражают систематическую компоненту ковариации доходности ценных бумаг. Это поможет использовать в данной модели только те факторы, которые действительно взаимосвязаны с доходностью рынка.
Каждый из рассматриваемых факторов – это доходность нулевой инвестиционной стратегии: длинная позиция, если актив имеет высокое значение параметра (на пример, рыночная капитализация), и короткая позиция при низком значении параметра. Варьируя данный параметр, можно отслеживать поведение различных факторов. Объяснение поведение доходности дублирующего портфеля помогает оценить и интерпретировать факторы, лежащие в основе этого портфеля. Если дублирующий портфель показывает большую волатильность доходности, то это связано с тем, что исследуемый фактор вносит свой вклад в общий компонент динамики доходности. Исследуя как доходность дублирующего портфеля изменяется в разных состояниях природы, можно делать выводы как фактор влияет на риск пи доходность портфеля. И, наконец, во многих случаях доходность портфеля напрямую связана со стилем инвестирования.
Факторы, которые лежат в основе общей динамики доходностей, обычно соотносятся с факторами, объясняющими поведение ожидаемой доходности. К тому же факторы могут и объяснять общую динамику доходности, но быть неценовыми. Хоти неценовые факторы не определяют среднюю доходность, они все-таки важны для инвесторов, желающих контролировать портфельный риск. Это предполагает, что постфактум для небольших объемов инвестиций не зарабатывается премия за риск.
Список факторов-кандидатов может быть достаточно большим, поэтому это требует процесса тщательного отбора. Одним из методов данного отбора является выявление принципиальных составляющих из данных и применение формальных статистических тестов для ранжирования значимости факторов. Это не является предпочтительным методом по нескольким причинам. В то время как эти факторы хорошо работают на конкретных примерах, при попытках применить данных выводы на общей основе возникают затруднения. Еще более важно причиной является то, что для этих статистических факторов нет экономической интерпретации. Следовательно, статистические факторы не могут широко применяться исследователями и инвесторами.
Напротив, можно сопоставить различные предполагаемые факторы в едином составе и выбрать наиболее значимые. Тут тоже есть свои подводные камни. Во многих случаях переменные достаточно сильно коррелированны между собой и это делает любой анализ их воздействия на исследуемый объект нереальным. Другой проблемой является возможность включения слишком большого количества факторов. Когда в модели используется много факторов, уловить динамику результирующей переменной проще не конкретном примере, но эти выводы нельзя распространиться на совокупность вообще.
Принимая к сведению выше изложенное, предпочтительным подходом является оценивание каждого фактора в отдельности. Если брать переменные по отдельности, фактор может оказаться незначимым, но возможно предположить, что он окажется значимым при оценивании этого фактора в совокупности с другими. К данному фактору следует отнестись с некоторой оговоркой, т.е. при проверке точности полученных результатов следует проверить также робастность многофакторной модели.
Факторы, влияющие на доходность ценных бумаг (акций), Chan, Karceski и Lakonishok (1998) разделили на 5 групп:
-внутренние факторы компании (фундаментальные факторы);
-прошлые доходности (технические факторы);
-макроэкономические переменные (макроэкономические факторы);
-факторы, извлекаемые из принципиальных компонент анализа (статистические факторы);
-доходность рыночного индекса (рыночный фактор).
Эти авторы пришли к выводу, что макроэкономические факторы влияют только на среднюю динамику доходности. Но как было показано выше при конструировании дублирующих портфелей для новостей можно избежать некоторых ошибок спецификации и выявить влияние макроэкономических детерминант на рынок.
Chen, Roll и Ross (1986) в совей работе исследовали влияние только макроэкономических факторов на доходность активов. Применительно к американскому фондовому рынку были исследованы следующие факторы:
-уровень промышленного производства IP(t), за месяц MP(t), за год YP(t):
(4.1)
(4.2)
-уровень инфляции
(4.3)гдеI(t)– реализованное значение инфляции за месяц как разница в логарифмах индекса потребительских цен.
-премия за риск
-временная структура облигаций
-рыночные индексы (доходность индексов)
-потребление
-цены на нефть
Применительно к российскому рынку данную структуру можно сохранить неизменной, за исключением соответственно того, что в качестве государственных ценных бумаг будут рассматриваться ГКО, ОФЗ и Еврооблигации. Еврооблигации на российском рынке можно также рассматривать как безрисковый инструмент, т.к. в отличии от государственных облигаций, номинированных в национальной валюте, доходность еврооблигаций колеблется меньше и соответственно они имеет меньшую премия за риск.
Пожалуй, наиболее острой проблемой, возникающей перед специалистами по факторному анализу, является подбор четких и ясных критериев, позволяющих отсеять малозначимые факторы, повышающие размерность модели без увеличения ее точности, и при этом правильно определить вес для остальных факторов. Доказательством важности этого вопроса, а также отсутствия однозначно оптимальных решений, является изобилие всевозможных критериев отбора значимых компонент. Достаточно назвать такие известные методы, как расчет варимакс-критерия,n-критерий, отбор при помощиt-критерия Стьюдента и т.п.
Очевидно, что вводить в модель очередной фактор целесообразно только в том случае, если он в достаточной степени понижает уровень энтропии, а следовательно, увеличивает значениеR-квадрат. Каким образом численно выразить прирост данной величины в зависимости от количества вводимых факторов? Рассмотрим эту проблему в свете коэффициентов последовательной детерминации.
Пусть имеютсяNфакторовX1...XN, предположительно влияющих на доходность инвестиционного портфеля. При вводе в уравнение регрессии фактораXiпоказательR-квадрат принимает некоторое определенное значение. Выберем фактор, при котором оно будет наибольшим:
(4.4)
гдеP12- коэффициент последовательной детерминации для данного фактора,
ryx1- парный коэффициент корреляции между доходностью и этим фактором.
Теперь вводится в полученное уравнение регрессии второй фактор таким образом, чтобы значениеR-квадрат снова оказалось максимально возможным, и затем рассчитываем второй коэффициент последовательной детерминации:
(4.5)
Аналогичным образом рассчитываем следующие коэффициенты:
и т.д.
Базовый отбор факторов продолжается до тех пор, пока величина получаемых коэффициентов последовательной детерминации не станет меньше некоторого критического значения. Учитывая, что в механизм расчета скорректированной величины R-квадрат входит поправка на возрастание энтропии при вводе новых факторов, ее прирост на каждой итерации алгоритма должен быть положительным и, следовательно, критическое значениеpдолжно быть больше нуля.
Данный метод позволяет отобрать из всех имеющихся факторов именно те, которые оказывают наибольшее влияние на доходность рассматриваемых ценных бумаг. Это позволяет существенно понизить размерность модели, создаваемой на основе методики, ускорить вычисления и при этом отбросить данные, не имеющие большого влияния на интересующие нас показатели. Как правило, от выявленных главных компонент зависит не менее 85% общей дисперсии, что лишний раз показывает эффективность выбранного метода анализа. 4.2 Применение кластерного анализа
Процедура кластеризации решает вопрос о сходстве финансовых активов, характеризуемых значениями многих параметров, на основе формальных математических критериев. Это позволяет заменить длительный и трудоемкий процесс изучения и сравнения активов более быстрым вычислительным алгоритмом. Кроме того, будучи средством анализа многомерных данных, кластеризация позволяет выделить активы с близкими значениями всех параметров.
Большое достоинство кластерного анализа в том, что он позволяет производить разбиение объектов не по одному параметру, а по целому набору признаков. Кроме того, кластерный анализ в отличие от большинства математико-статистических методов не накладывает никаких ограничений на вид рассматриваемых объектов, и позволяет рассматривать множество исходных данных практически произвольной природы. Это имеет большое значение, например, для прогнозирования конъюнктуры, когда показатели имеют разнообразный вид, затрудняющий применение традиционных эконометрических подходов.
Кластерный анализ позволяет рассматривать достаточно большой объем информации и резко сокращать, сжимать большие массивы социально-экономической информации, делать их компактными и наглядными.
Важное значение кластерный анализ имеет применительно к совокупностям временных рядов, характеризующих экономическое развитие (например, общехозяйственной и товарной конъюнктуры). Здесь можно выделять периоды, когда значения соответствующих показателей были достаточно близкими, а также определять группы временных рядов, динамика которых наиболее схожа.
Как и любой другой метод, кластерный анализ имеет определенные недостатки и ограничения: В частности, состав и количество кластеров зависит от выбираемых критериев разбиения. При сведении исходного массива данных к более компактному виду могут возникать определенные искажения, а также могут теряться индивидуальные черты отдельных объектов за счет замены их характеристиками обобщенных значений параметров кластера. При проведении классификации объектов игнорируется очень часто возможность отсутствия в рассматриваемой совокупности каких-либо значений кластеров.
Общеизвестно, что изменение курсовой стоимости и дивидендов различных ценных бумаг не только в России, но и во всем мире зависит от ряда внутренних и международных факторов экономического и неэкономического характера. Эти факторы могут быть взаимосвязаны в различной степени, а тенденции изменения их динамики способны отличаться друг от друга в достаточно сильной степени. Следовательно, изменение стоимости инвестиционного портфеля в результате сложения различных тенденций с большой вероятностью оказывается достаточно сложной и практически непредсказуемой, если использовать обычный регрессионный анализ. Основные факторы воздействия влияют на различные ценные бумаги не только с разной эффективностью, но зачастую и в прямо противоположных направлениях. К примеру, повышение цен на нефть может благоприятно сказаться на ценных бумагах нефтяных корпораций, негативно отразившись на автомобилестроительном секторе.
В свете вышесказанного, возникает проблема определения с максимальной степенью точности существенных факторов и их влияние на курс ценных бумаг.
Как теоретики, так и практики сталкиваются с трудностями, когда перед ними возникает практически неизбежная задача разбиения множества существующих ценных бумаг на различные группы с относительно однородной структурой. Краеугольным камнем проблемы является вопрос подбора и согласования выбранных факторов так, чтобы их представление в многомерной системе координат достаточно точно производило разбиение на кластеры, характеризующиеся максимально схожими тенденциями. При этом нужно учитывать, что даже если бы и удалось подобрать точные коэффициенты для существующих количественных факторов, всегда найдутся не менее важные качественные показатели, выразить которые в количественной форме практически невозможно. В связи с этим принято группирование ценных бумаг на основе существующих индустриальных и прочих классификаций, а также отталкиваясь от априорной доходности (ex ante).