(16)
Основываясь на взаимосвязи между цепными и базисными абсолютными приростами , показатель среднего абсолютного прироста можно определить по формуле 17:
(17)
Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики . Для определения среднего темпа роста
применяется формула 18:
(18)
где Тр1 , Тр2 , ... , Трn -- индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n -- число индивидуальных темпов роста.
Средний темп роста можно определить и по абсолютным уровням ряда динамики по формуле 19:
(19)
На основе взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста средний темп роста можно определить по формуле 20:
(20)
Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста . При наличии данных о средних темпах роста для получения средних темпов прироста используется зависимость , выраженная формулой 21:
(21)
(при выражении среднего темпа роста в коэффициентах)
2.3 Проверка ряда на наличие тренда. Непосредственное выделение тренда
Изучение тренда включает в себя два основных этапа :
1) Ряд динамики проверяется на наличие тренда
2) Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов .
Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям .
1) Метод средних . Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два) , для каждого из которых определяется средняя величина (
) . Выдвигается гипотеза о существенном различии средних . Если эта гипотеза принимается , то признается наличие тренда .
2) Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и Мура) . Суть его заключается в следующем : наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае , если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы – изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).
3) Критерий Кокса и Стюарта . Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае , когда число уровней ряда не делится на три , недостающие уровни надо добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп .
4) Метод серий . По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов : например , если уровень ряда меньше медианного значения , то считается , что он имеет тип А , в противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов . В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия – любая последовательность элементов одинакового типа , с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).
Если в ряду динамики общая тенденция к росту или снижению отсутствует , то количество серий является случайной величиной , распределенной приближенно по нормальному закону (для n > 10) . Следовательно , если закономерности в изменениях уровней нет , то случайная величина R оказывается в доверительном интервале
.
Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р.
Среднее число серий вычисляется по формуле 22 :
. (22)
Среднее квадратическое отклонение числа серий вычисляется по формуле 23 :
. (23)
здесь n -- число уровней ряда .
Выражение для доверительного интервала приобретает вид
Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел , уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю .
Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами .
1) Укрупнение интервалов . Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов . Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления , переходят к расчету уровней за большие промежутки времени , увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов) .
2) Скользящая средняя . В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами , которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих . Целое число уровней , по которым рассчитывается среднее значение , называют интервалом сглаживания . Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или четным (2,4,6 и т.д. точек).
При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала , при четном это делать нельзя . Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными , для чего образуют ближайший больший нечетный интервал , но из крайних его уровней берут только 50%.
Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда . Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной . Так , при сглаживании по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле 24 :
. (24)
Для последней точки расчет симметричен .
При сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения (формулы 25):
(25)
Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен сглаживанию в двух начальных точках .
Формулы расчета по скользящей средней выглядят , в частности , следующим образом (формула 26):
для 3--членной
. (26)
3) Аналитическое выравнивание . Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления . Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени . В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий , суммарный , проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов . Отклонение конкретных уровней ряда от уровней , соответствующих общей тенденции , объясняют действием факторов , проявляющихся случайно или циклически . В результате приходят к трендовой модели , выраженной формулой 27:
, (27)
где f(t) – уровень , определяемый тенденцией развития ;
-- случайное и циклическое отклонение от тенденции.
Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса .
Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости :
линейная
;
параболическая
;
экспоненциальная
или
).
1) Линейная зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к снижению.
2) Параболическая зависимость используется , если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития , но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют .
3) Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , -- устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.д.).
Оценка параметров (
) осуществляется следующими методами :
1) Методом избранных точек,
2) Методом наименьших расстояний,
3) Методом наименьших квадратов (МНК)
В большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов , который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных :
.
Для линейной зависимости (
) параметр
обычно интерпретации не имеет , но иногда его рассматривают , как обобщенный начальный уровень ряда ;
-- сила связи , т. е. параметр , показывающий , насколько изменится результат при изменении времени на единицу . Таким образом ,
можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост .
Построив уравнение регрессии , проводят оценку его надежности . Это делается посредством критерия Фишера (F) . Фактический уровень (
) , вычисленный по формуле 28, сравнивается с теоретическим (табличным) значением :
, (28)
где k -- число параметров функции , описывающей тенденцию;
n -- число уровней ряда ;
Остальные необходимые показатели вычисляются по формулам 29 – 31 :
(29)
(30)
(31)
сравнивается с
при
степенях свободы и уровне значимостиa(обычноa= 0,05). Если
>
, то уравнение регрессии значимо , то есть построенная модель адекватна фактической временной тенденции.
2.4 Анализ сезонных колебаний
Уровень сезонности оценивается с помощью :
1) индексов сезонности ;
2) гармонического анализа.
Индексы сезонности показывают , во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня , вычисляемого по уравнению тенденции f(t) . При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет . Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов каждого года . Индексы сезонности – это , по либо уровень существу , относительные величины координации , когда за базу сравнения принят либо средний уровень ряда , либо уровень тенденции . Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции .
Если тренда нет или он незначителен , то для каждого месяца (квартала) индекс рассчитывается по формуле 32:
(32)
где
-- уровень показателя за месяц (квартал) t ;
-- общий уровень показателя .
Как отмечалось выше , для обеспечения устойчивости показателей можно взять больший промежуток времени . В этом случае расчет производится по формулам 33 :
(33)
где
-- средний уровень показателя по одноименным месяцам за ряд лет ;
Т -- число лет .
При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов , исключающих влияние тенденции . Порядок расчета следующий :
1) для каждого уровня определяют выравненные значения по тренду f(t);
2) рассчитывают отношения
;
3) при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов) по формуле 34 :
,(Т -- число лет). (34)
Другим методом изучения уровня сезонности является гармонический анализ . Его выполняют , представляя временной ряд как совокупность гармонических колебательных процессов .
Для каждой точки этого ряда справедливо выражение , записанное в виде формулы 35 :
(35)
при t = 1, 2, 3, ... , Т.
Здесь
-- фактический уровень ряда в момент (интервал) времени t;
f(t) – выравненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t
-- параметры колебательного процесса (гармоники) с номером n , в совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки .
Общее число колебательных процессов , которые можно выделить из ряда , состоящего из Т уровней , равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных гармоник . Параметры гармоники с номером n определяются по формулам 36 –38 :
1)
; (36)
2)
(37)
при n=1,2,...,(T/2 – 1);
3)
(38)
2.4 Анализ взаимосвязанных рядов динамики .
В простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух или более рядов их приводят к общему основанию , для чего берут в качестве базисных уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по темпам роста или прироста .
Коэффициенты опережения по темпам роста – это отношение темпов роста (цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста (также цепным или базисным) другого ряда . Аналогично находятся и коэффициенты опережения по темпам прироста .
Анализ взаимосвязанных рядов представляет наибольшую сложность при изучении временных последовательностей . Однако нередко совпадение общих тенденций развития может быть вызвано не взаимной связью , а прочими неучитываемыми факторами . Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно следует избавиться от влияния существующих в них тенденций , а после этого провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда . Исследование включает проверку рядов динамики (отклонений) на автокорреляцию и установление связи между признаками .
Под автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от предыдущих . Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по критерию Дарбина – Уотсона (формула 39) :
, (39)
где
-- отклонение фактического уровня ряда в точке t от теоретического (выравненного) значения .
При К = 0 имеется полная положительная автокорреляция , при К = 2 автокорреляция отсутствует , при К = 4 – полная отрицательная автокорреляция . Прежде чем оценивать взаимосвязь , автокорреляцию необходимо исключить . Это можно сделать тремя способами .
1. Исключение тренда с авторегрессией. Для каждого из взаимосвязанных рядов динамики Х и У получают уравнение тренда (формулы 40) :
(40)
Далее выполняют переход к новым рядам динамики , построенным из отклонений от трендов , рассчитанным по формулам 41 :
(41)
Для последовательностей
выполняется проверка на автокорреляцию по критерию Дарбина – Уотсона . Если значение К близко к 2 , то данный ряд отклонений оставляют без изменений . Если же К заметно отличается от 2 , то по такому ряду находят параметры уравнения авторегрессии по формулам 42 :
(42)
Более полные уравнения авторегрессии можно получить на основе анализа автокорреляционной функции , когда определяются число параметров (
) и соответствующие этим параметрам величины шагов .
Далее по формуле 43 подсчитываются новые остатки :
(t = 1, ... , Т) (43)
и , по формуле 44, коэффициент корреляции признаков :
. (44)
2. Корреляция первых разностей . От исходных рядов динамики Х и У переходят к новым , построенным по первым разностям (формулы 45) :
(45)
ПоDХ иDУ определяют по формуле 46 направление и силу связи в регрессии:
(46)
3. Включение времени в уравнение связи :
.
В простейших случаях уравнение выглядит следующим образом (формула 47):
(47)
Из перечисленных методов исключения автокорреляции наиболее простым является второй , однако более эффективен первый .
1
