– средняя из групповых дисперсий
гдеwj– выборочная доля вj–й типической группе;
nj– число единиц вj–й типической группе;
k– число типических групп.
Для случая, когда доля (частость) даже приблизительно неизвестна, можно произвести "грубый" расчет средней ошибки выборки для доли, используя в расчете максимальную величину дисперсии доли, равную 0,25. Тогда для
повторного отбора
бесповторного отбора
Предельное значение ошибки выборочной доли определяется по следующей формуле:
Величина средней ошибки выборочной доли
зависит от доли изучаемого признака в генеральной совокупности, числа наблюдений и способа отбора единиц из генеральной совокупности для наблюдения, а величина предельной ошибки
зависит еще и от величины вероятности
, с которой гарантируются результаты выборочного наблюдения.
Распространение выборочных данных на генеральную совокупность производится с учетом доверительных интервалов. Доля альтернативного признака в генеральной совокупности равна
Пример
Сущность процесса случайного отбора и основные свойства простой повторной выборки можно показать на условном примере.
Генеральная совокупность состоит из трех единиц (N= 3 ), например
| Порядковый номер рабочего |
1
|
2 |
3 |
4 |
|
Тарифный разряд,xi |
3
|
4 |
4 |
5 |
Генеральная средняя
разряд;
генеральная дисперсия
доля рабочих в генеральной совокупности, имеющих 4 тарифный разряд
Задача. Определить параметры генеральной совокупности ( средний разряд, дисперсию и долю рабочих с тарифным разрядом, равным 4) по результатам проведения простой случайной повторной выборки объемом 2 единицы (n= 2).
В данном примере с одинаковой степенью вероятности могла бы появиться любая из 16 возможных комбинаций единиц, то есть любая из 16 возможных выборок. Результаты 16 выборок приведены в табл. 1
Таблица 1
|
Номер выборки
|
Номера единиц, входящих в выборку |
Значения признака по данным выборки |
Выборочная средняя
|
Отклонение выборочной средней от генеральной средней |
Выбо-
рочная доля
|
1 |
1; 1 |
3; 3 |
3,0 |
-1,0 |
0,0 |
2 |
1; 2 |
3; 4 |
3,5 |
-0,5 |
0,5 |
3 |
1; 3 |
3; 4 |
3,5 |
-0,5 |
0,5 |
4 |
1; 4 |
3; 5 |
4,0 |
0,0 |
0,0 |
5 |
2; 1 |
4; 3 |
3,5 |
-0,5 |
0,5 |
6 |
2; 2 |
4; 4 |
4,0 |
0,0 |
1,0 |
7 |
2; 3 |
4; 4 |
4,0 |
0,0 |
1,0 |
8 |
2; 4 |
4; 5 |
4,5 |
+0,5 |
0,5 |
9 |
3; 1 |
4; 3 |
3,5 |
-0,5 |
0,5 |
10 |
3; 2 |
4; 4 |
4,0 |
0,0 |
1,0 |
11 |
3; 3 |
4; 4 |
4,0 |
0,0 |
1,0 |
12 |
3; 4 |
4; 5 |
4,5 |
+0,5 |
0,5 |
13 |
4; 1 |
5; 3 |
4,0 |
0,0 |
0,0 |
14 |
4; 2 |
5; 4 |
4,5 |
+0,5 |
0,5 |
15 |
4; 3 |
5; 4 |
4,5 |
+0,5 |
0,5 |
16 |
4; 4 |
5; 5 |
5,0 |
+1,0 |
0,0 |
Возможные варианты значений выборочных средних и отклонения их от генеральной средней представлены в виде ряда распределения (табл.2)
Таблица 2
|
Выборочные средние разряды рабочих
|
Число выборок с данной выборочной средней
fj |
Отклонение выборочной средней от генеральной средней
|
Вероятность появления данного значения выборочной средней (или величины отклонения выборочной средней от генеральной) |
3,0 |
1 |
-1,0 |
0,0625 |
3,5 |
4 |
-0,5 |
0,2500 |
4,0 |
6 |
0,0 |
0,3750 |
4,5 |
4 |
+0,5 |
0,2500 |
5,0 |
1 |
+1,0 |
0,0625 |
Итого |
16 |
|
1,0000
|
В распределении величин выборочных средних и их отклонений наблюдаются определенные закономерности.
1. Из возможных результатов случайной повторной выборки наиболее вероятны такие, при которых величина выборочной средней будет близка к величине генеральной средней. Таким образом, чем больше величина случайной ошибки выборки, тем менее вероятно появление такой ошибки.
2. В примере не встречаются ошибки больше единицы по абсолютной величине, т.е. всегда существует предел расхождений между выборочной и генеральной средней.
По данным табл.2, где представлены все возможные варианты выборочных средних и их отклонения от генеральной средней, определяется величина стандартной ошибки выборки
Однако на практике исследователь оперирует данными какой-то одной конкретной выборки, а поэтому указанным способом определить стандартную ошибку средней невозможно.
Среднюю ошибку можно определить по формуле, используя величину дисперсии в генеральной совокупности (в данном примере генеральная дисперсия признака равна 0,5)
Распределение выборочной доли представлено в табл.3
Таблица 3
|
Выборочная доля
|
Число выборок с данной выборочной долей
fj |
Отклонение выборочной доли от генеральной
|
| |
| 0,0 |
4 |
-0,5 |
0,0 |
1,0 |
0,5 |
8 |
0,0 |
4,0 |
0,0 |
1,0 |
4 |
+0,5 |
4,0 |
1,0 |
Итого |
16 |
|
8,0
|
2,0 |
В среднем для всех возможных вариантов выборок величина выборочной доли совпадает с долей признака в генеральной совокупности
Средняя квадратическая ошибка доли в генеральной совокупности
Среднюю квадратическую ошибку доли в генеральной совокупности можно определить, используя долю признака в генерального совокупности (p= 0,5),
В формулы средних ошибок выборки
;
входят дисперсии признака и доли в генеральной совокупности, величины которых, как правило, при проведении выборочного наблюдения неизвестны. Поэтому для расчета средних ошибок выборки приходится использовать выборочные дисперсии в качестве оценки генеральной совокупности.
1
4.4. Объем выборки
Определение необходимого объема выборкиnосновывается на формулах предельных ошибок выборочной доли и выборочной средней. Например, для повторного отбора предельные ошибки равны
отсюда объемы выборок для расчета выборочной долиnwи выборочной среднейnxследующие:
Аналогичным образом определяются объемы выборок при различных способах отбора выборочной совокупности. Для серийного отбора определяется число отобранных серий. Формулы расчета приведены в табл.4.3.
Таблица 4.3
Формулы расчета объема выборки
|
Метод отбора выборки
|
Объем выборки или число серий для определения |
|
выборочной доли
|
выборочной средней |
Механический и собственно–случайный повторный отбор |
|
|
Механический и собственно–случайный бесповторный отбор |
|
|
|
Серийный отбор при повторном отборе равновеликих серий |
|
|
Серийный отбор при бесповторном отборе |
|
|
равновеликих серий
Типический отбор при повторном случайном отборе внутри групп, пропорциональном объему групп |
|
|
Типический отбор при бесповторном случайном отборе внутри групп, пропор |
|
|
циональ-ном объему групп
гдеnw,nx– объемы выборок соответственно для определения ошибок выборочной доли и выборочной средней;
rw,rx– число отобранных серий соответственно для определения ошибок выборочной доли и выборочной средней;
– предельные ошибки соответственно выборочной доли и выборочной средней.
Вариация ()признака существует объективно, независимо от исследователя, но к началу выборочного наблюдения она неизвестна. Для приближенной оценкииспользуются следующие способы:
- дисперсия определяется на основе результатов проведения "пробного" обследования (обычно небольшого объема). По данным нескольких пробных обследований выбирается наибольшее значение дисперсии;
- дисперсия принимается из предыдущих исследований;
- по правилу "трех сигм" общий размах вариацииНукладывается в 6 сигм, среднее квадратическое отклонение принимается равным
Для большей точности размах делится на 5;
- если хотя бы приблизительно известна средняя величина изучаемого признака, то
-при изучении альтернативного признака (изучении доли), если нет даже приблизительных сведений о доле единиц, обладающих заданным значением этого признака, принимается максимально возможная величина дисперсии, равная 0,25.
В связи с тем, что генеральная дисперсия оценивается приближенно, рекомендуется рассчитанн ый объем выборки округлять в большую сторону.
Часто на практике задается не величина абсолютной предельной ошибки,а величина относительной погрешности,выраженная в процентах к средней величине
откуда
В этом случае объем выборки
Если известен коэффициент вариациито объем выборки
Например, по данным пробного обследования коэффициент вариации составляет 40%. Сколько необходимо отобрать единиц, чтобы с вероятностью 0,954 предельная относительная ошибка выборки не превышала 5%?
При
При серийном или типическом отборе, не пропорциональном объему групп, общее число отбираемых единиц делится на количество групп. Полученная величина является объемом выборки из каждой группы.
При отборе, пропорциональном числу единиц в группе, число наблюдений по каждой группе определяется по формуле
гдеnj- объем выборки изj-й группы;
n- общий объем выборки;
Nj- объемj-й группы;
N- объемгенеральной совокупности.
