1
БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.
ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ
Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называютпроизводственным потреблением.
Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).
Обозначим через xi валовый выпуск продукции i
-й отрасли за планируемый период и через yi
– конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).
Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i
-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.
Обозначим через xik часть продукции i
-й отрасли, которая потребляется k
-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере х k .
Таблица 1
№ потребление итого на конечный валовыйотрас. внутре продукт выпускпроизвод. ( у i )(хi)
№ 1 2 … k
… nпотреблениеотрас. (ехik )
1 х11 х12 … х1 k
… х1 nех1kу1 х1
2х21 х22 … х2 k
… х2 nех2kу2 х2
… … … … … … … … … …iх i1 xi2 … xik … xinеxik yi xi
… … … … … … … … … …n xn1 xn2 … xnk … xnnеxnk yn xnитогопроизв.затраты затратыехi1еxi2 …еxik …еxinв k
-юотрасль
Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами :х1 - ( х11 + х12 + … + х1 n) = у1х2 - ( х21 + х22 + … + х
2n) = у2( 1 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xn - ( xn1 + xn2 + … +xnn ) = yn
Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.
Будем снабжать штрихом ( х ’ik , y’i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.
Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn , характеризующих выпуск конечного продукта,ассортиментным вектором:
_у = ( у1 , у2 , … , yn ) , ( 2 )а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей –вектор-планом:
_x = ( x1 , x2 , … , xn ). ( 3 )
Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных х k , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от xk .
Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений :xikaik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ).xk
Величины aik называютсякоэффициентами прямых затратилитехнологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i- й отрасли, используемые k- й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k- й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., чтоx’ik xik
––– = ––– = aik = const ( 4 )x’k xk
Исходя из этого предложения имеемxik = aikxk , ( 5 )т.е. затраты i- й отрасли в k- ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk . Поэтому равенство ( 5 ) называютусловием линейности прямых затрат.
Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицуa11 a12 … a1k … a1na21 a22 … a2k … a2n
A= ………………….ai1 ai2 … aik … ainan1 an2 … ank … annкоторую называютматрицей затрат.
Заметим, что все элементы которую называютматрицей затрат.
Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства
А
>0 и называют такую матрицунеотрицательной.
Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1
Подставляя значения xik
= aik
= xk во все уравнения системы ( 1 ), получимлинейную балансовую модель:x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2 ( 6 )
……………………………………xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn ,характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1
Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений:
_ _ _
Е·х - А·х = У , или окончательно
_ _( Е - А )·х = У , ( 6' )где
Е
– единичная матрица n
-го порядка и
1- a11 -a12 … -a1n
E - A= -a21 1-a22 … -a2n
…………………
-an1 -an2 … 1-ann
Уравнения ( 6 ) содержат
2n переменных ( xi иyi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n
- переменных.
Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , … , yn )и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , … хn).
Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей:табл.2
№ отрас
Потребление
Итого Конечный Валовый
№ затрат продукт выпускотрас 1 2
0.2 0.4
1 100 160 260 240 500
0.55 0.1
2 275 40 315 85 400
Итого затрат 575в k
-ю 375 200отрасль … 575
Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2
Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:
100 160 275 40а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 = –––– = 0.1
500 400 500 400
Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.
Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2
Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.
Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.
РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.
Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).
Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У
>
0 неотрицательного решения х
>
0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением.
Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.
Так, например, если
0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6' )
А= , то Е - А =
0.6 0.9 -0.6 0.1запишется в виде 0.1 -0.8 х1 у1 или в развернутой форме
-0.6 0.1 х2 у2
0.1х1 - 0.8х2 = у1 (a)
-0.6х1 + 0.1х2 = у2
Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение
-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2 , если только у1
>
0 и у2
>0( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).
Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).
Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.
Теорема.
Если существует хоть один неотрицательный вектор х
>0 , удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х
>
0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x
>0 , хотя бы для одного
У
>0 , то оно имеет для любого
У
>0 единственное неотрицательное решение.
При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.
Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'
>0 . Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x
>0 . На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.
Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через
S = || sik+ || , запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде
_ _х = S·
У ( 7 )
Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х .
Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nynx2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn ( 8 )
………………………………xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn
ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ
ЗАТРАТЫ.
Выясним экономический смысл элементов
Sik матрицы
S .
Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.
1
_ 0
У1 =:
0
Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим
1 S11
_ 0 S21 _х = S
: = : = S1
0 Sn1 0
_ 1задавшись ассортиментным вектором У2 = 0 , получим:
0
0 S12
_ 1 S22 _х = S
: = : = S2
0 Sn2
Аналогично, валовый выпуск Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k
-й отрасли, составит
0 S1k
_ : S2k _х = S
1 = : = Sk , ( 9 ): Snk
0т.е. k
-й столбец матрицы
S .
Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:
Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k
-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=
S1k, во 2-й х2=
S2kи т.д., в i
-й отрасли выпустить xi=Sikи, наконец, в n
-й отрасли выпустить xn=Snkединиц продукции.
Так при этом виде конечного продукта производства только единица k
-го продукта, то величины
S1k,
S2k, …, Sik, …, Snk,представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n
-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k
-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k
-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k
-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i
-й отрасли поступала бы только в k
-ю отрасль в количестве aik , то производство k
-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a1k ), 2-й отрасли ( a2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i
-й отрасли ( ai1, ai2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2
Пустьнас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.
Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4
100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.2
40=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у1=0 и у2=1 ( см п.2 ):
0.8х1 - 0.4х2 = 0
-0.55х1 + 0.9х2 = 1
Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через
S12 . Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названыпрямые затраты), то
S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли какпрямые( а12 ), так икосвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Этикосвенные затратысоставляют S12-a12=0.8-0.4=0.4
Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.
Итак, величина
Sik характеризуетполные затратыпродукции i
-й отрасли для производства единицы конечного продукта k
-й отрасли, включающие какпрямые(aik ),так икосвенные( Sik - aik )затраты.
Очевидно, что всегда Sik
> aik.
Если необходимо выпустить у k единиц k
-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ):x1 = S1k
·yk, x2 = S2k
·yk, …, xn = Snk
·yk ,что можно записать короче в виде:
_ _x = Sk
·yk ( 10 )
Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент-
_ у1ным вектором У = : , то валовый выпуск k
-й отрасли xk , необходимый для егоу nобеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца
Sk на вектор
У , т.е.
_ _xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk
·y , ( 11 )а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы
S на вектор У.
Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат
S , можно по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе
У .
Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Можно также определить, какое изменение в вектор-плане
Dх = (
Dх1,
Dх2, …,
Dхn) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта
D
У = (
Dу1,
Dу2, …,
Dуn )по формуле:
_ _
Dх = S·
D
У , ( 12 )
Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:
2.
0.4
А =
0.55 0.1
Следовательно,
1 -0.2 -0.4 0.8 -0.4
Е - А = =
-0.55 1 -0.1 -0.55 0.9
Определитель этой матрицы
0.8 -0.4
D [ E - A ] = = 0.5
-0.55 0.9
Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем:
0.9 0.4( Е - А )* = ,
0.55 0.8откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентовполных затрат, будет следующей:
1 0.9 0.4 1.8 0.8
S
= ( Е - А )-1 = ––– =
0.5 0.55 0.8 1.1 1.6
Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S11=0.8 и
S21=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а11=0.2 и а21=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.
Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S
12=0.8 и S
22=1.5, откуда косвенные затраты составят 0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.
Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей.
Тогда необходимый валовый выпуск х = х1 найдется из равенства ( 7 ):х2 х2
_ _ 1.8 0.8 480 1000х = S
·У = · =
1.
1.6 170 800 .
ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.
Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат xik , затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n
+2-я и т.д. дополнительные строки.
