- 1 -
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Шадринский Государственный Педагогический институт
КОМПЬЮТЕРНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ.
Курсовая работа.
Выполнили:
Студентки 201 гр.
Благодарева Юлия Григорьевна
Реутова Елена Александровна
Руководитель:
Пайвина Юлия Васильевна
Шадринск, 2003 г.
Оглавление
Введение…………………………………………………….….……..3
1. Постановка задачи линейного программирования….…...4
2. Симплекс-метод……………………………………………14
3. Контрольные вопросы и задания…………………………21
Заключение……………………………………………….…………..24
Литература…………………………………………………….………25
Введение
В последние годы мы особенно отчетливо ощутили, что нет ничего важнее для общества, чем здоровая экономика. Научное исследование основ функционирования экономики – сложная и интересная деятельность. Математические методы в ней играют возрастающую с каждым десятилетием роль, а реализация возникающих при этом математических моделей и получение практически важных результатов невозможны без ЭВМ.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В данном параграфе рассматривается лишь один из разделов - оптимальное планирование - и внутри него одна из моделей, так называемое, линейное программирование. Это связано с относительной простотой и ясностью как содержательной постановки соответствующих задач, так и методов решения. О таких интересных, но более сложных проблемах, как выпуклое программирование, динамическое программирование, теория игр мы лишь упомянем, отсылая читателей за подробностями к специальной литературе. Отметим еще, что термин «программирование» в названии этих разделов теории оптимального планирования весьма условен, связан с историческими обстоятельствами и к программированию в общепринятом сейчас смысле прямого отношения не имеет.
Общеизвестно, сколь важно для решения экономических задач планирование - как при рыночной, так и при плановой экономике. Обычно для решения экономической проблемы существует много способов (стратегий), отнюдь не равноценных по затратам финансов, людских ресурсов, времени исполнения, а также по достигаемым результатам. Наилучший из способов (по отношению к выбранному критерию - одному или нескольким) называют оптимальным. Приведем простейший пример такого рода задач.
Пример 1. На некотором предприятии могут выпускать изделия двух видов (например, мотоциклы и велосипеды). В силу ограниченности возможностей сборочного цеха в нем могут собирать за день либо 25 мотоциклов (если не собирать вообще велосипеды), либо 100 велосипедов (если не собирать вообще мотоциклы), либо какую-нибудь комбинацию тех и других, определяемую приемлемыми трудозатратами. Склад может принять не более 70 изделий любого вида в сутки. Известно, что мотоцикл стоит в 2 раза дороже велосипеда. Требуется найти такой план выпуска продукции, который обеспечил бы предприятию наибольшую выручку.
Такого рода задачи возникают повседневно в огромном количестве, но в реальности число изделий гораздо больше двух, да и дополнительных условий тоже больше. Решить подобную задачу путем перебора всех мыслимых вариантов часто невозможно даже на ЭВМ. В нашем примере, однако, в ЭВМ нет необходимости - задача решается очень легко.
Обозначим число выпускаемых за день мотоциклов х, велосипедов - у. Пусть т1- время (в часах), уходящее на производство одного мотоцикла, а т2- одного велосипеда. Из условия задачи следует, что т1= 4т2. Если завод работает круглосуточно, то, очевидно, при одновременном выпуске обоих изделий
или
Но – 24/т2- число максимально производимых велосипедов, равное 100. Итак, возможности производства определяют условие
Еще одно условие - ограниченная емкость склада:
Обозначим цену мотоцикла а1(руб.), цену велосипеда - а2(руб.). По условию a1= 2а2. Общая цена дневной продукции
Поскольку а2- заданная положительная константа, то наибольшего значения следует добиваться от величины
Итак, учитывая все условия задачи, приходим к ее математической модели: среди неотрицательных целочисленных решений системы линейных неравенств
(7.71)
найти такое, которое соответствует максимуму линейной функции
f = 2х + у.(7.72)
Проще всего решить эту задачу чисто геометрически. Построим на плоскости (х, у) область, соответствующую неравенствам (7.71) и условию неотрицательности х и у. Эта область выделена на рис.1 жирной линией. Всякая ее точка удовлетворяет неравенствам (7.71) и неотрицательности переменных. Пунктирные линии на рисунке - семейство прямых, удовлетворяющих уравнениюf = 2х + у = с(с разными значениями константыс). Вполне очевидно, что наибольшему возможному значению f, совместному с предыдущими условиями, соответствует жирная пунктирная линия, соприкасающаяся с областью М в точке Р.
25
О 10 20 30 40 50 60 70 80
Рис. 1. Графическое решение задачи об оптимальном плане производства (к примеру 1)
Этой линии соответствует значениеf= 80. Пунктирная линия правее хоть и соответствует большему значениюf, но не имеет общих точек с М, левее - меньшим значениямf. Координаты точки Р (10, 60) - искомый оптимальный план производства.
Отметим, что нам «повезло» - решение (х, у) оказалось целочисленным. Если бы прямые
пересеклись в точке с нецелочисленными координатами, мы бы столкнулись со значительными проблемами. Еще больше их было бы, если бы наш завод выпускал три и более видов продукции.
Прежде чем обсуждать возникающие при этом математические проблемы, дадим формулировки нескольких классических задач линейного программирования в общем виде.
Пример 2. Транспортная задача. Некий продукт (например, сталь) вырабатывается на m заводах Р1, Р2, ..., Рm, причем ежемесячная выработка составляет a1, а2, …, аmтонн, соответственно. Пусть эту сталь надо доставить на предприятия Q1, Q2, ..., Qk(всего k), причем b1, b2, ..., bk- ежемесячная потребность этих предприятий. Наконец, пусть задана стоимость cijперевозки одной тонны стали с завода Piна предприятие QJ. Естественно считать, что общее производство стали равно суммарной потребности в ней:
a1+ a2+ … + am= b1+ b2+ … + bk(7.73)
Необходимо составить план перевозок, при котором
1) была бы точно удовлетворена потребность в стали предприятий Q1, Q2,..., Qk;
2) была бы вывезена вся сталь с заводов PI, Р2, ..., Рт;
3) общая стоимость перевозок была бы наименьшей.
Обозначим через Хijколичество стали (в тоннах), предназначенной к отправке с завода Рiна предприятие QJ. План перевозок состоит из (mЧk) неотрицательных чисел xij(i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., k).
Таблица 7.10
Схема перевозок стали
| В
|
В
|
В
|
ј
|
В
|
Отправлено |
Из
|
| | |
…
|
|
|
Из
|
| | |
…
|
|
|
… |
…
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
Из
|
| |
xm3
|
…
|
|
|
Привезено |
|
| |
…
|
|
|
Первое условие примет вид
(7.74)
Второе условие примет вид
(7.75)
Раз стоимость перевозки одной тонны из Рi, в QJравна сij,то общая стоимость S всех перевозок равна
(7.76)
Таким образом, мы приходим к следующей чисто математической задаче: дана система m+k линейных алгебраических уравнений (7.74) и (7.75) с m·k неизвестными (обычно m·k » m+k) и линейная функция S. Требуется среди всех неотрицательных решений данной системы найти такое, при котором функция S достигает наименьшего значения (минимизируется).
Практическое значение этой задачи огромно, ее умелое решение в масштабах нашей страны могло бы экономить ежегодно огромные средства.
Пример 3.Задача о диете. Пусть у врача-диетолога имеется n различных продуктов F1, F2, ..., Fn, из которых надо составить диету с учетом их питательности. Пусть для нормального питания человеку необходимо m
веществ N1, N2, …, Nm. Предположим, что за месяц каждому человеку необходимоg1кг вещества N1,g2кг вещества N2, ...,gmкг вещества Nm. Для составления диеты необходимо знать содержание питательных веществ в каждом продукте. Обозначим через aijколичество i-го питательного вещества, содержащегося в одном килограмме j-го продукта. Всю эту информацию представляют в виде, так называемой, матрицы питательности (табл. 7.11).
Таблица 7.11
Матрица питательности
Питательное вещество |
Продукт
|
Предположим, что диетолог уже выбрал диету, т.е. определил, что человек должен за месяц потреблятьh1кг продукта F1,...,hnкг продукта Fn. Полное количество питательного вещества N1будет
По условию требуется, чтобы его, по крайней мере, хватило
(7.77)
Точно то же и для остальных веществ. В целом
(7.78)
Эти условия определяют наличие минимума необходимых питательных веществ. Диета, для которой выполнены условия (7.78) - допустимая диета. Предположим, что из всех допустимых диет должна быть выбрана самая дешевая. Пусть (i - цена 1 кг продукта Fi. Полная стоимость диеты, очевидно,
(7.79)
Таким образом, мы пришли к задаче: найти неотрицательное решение (1, ..., (n системы неравенств (7.78), минимизирующее выражение (7.79).
В примерах, приведенных выше, имеется нечто общее. Каждый из них требует нахождения наиболее выгодного варианта в определенной экономической ситуации. С чисто математической стороны в каждой задаче требуется найти значение нескольких неизвестных так, чтобы
1) все эти значения были неотрицательны;
2) удовлетворяли системе линейных уравнений или линейных неравенств;
3) при этих значениях некоторая линейная функция имела бы минимум (или максимум). Таким образом, линейное программирование - это математическая дисциплина, изучающая методы нахождения экстремального значения линейной функции нескольких переменных при условии, что последние удовлетворяют конечному числу линейных уравнений и неравенств. Запишем это с помощью формул: дана система линейных уравнений и неравенств.
Запишем это с помощью формул: дана система линейных уравнений и неравенств
(7.80)
и линейная функция
(7.81)
Требуется найти такое неотрицательное решение
(7.82)
системы (7.80), чтобы функция/принимала наименьшее (или наибольшее) значение.
Условия (7.80) называют ограничениями данной задачи, а функцию f- целевой функцией (или линейной формой). В приведенных выше примерах ограничения имели вид не уравнений, а неравенств. Заметим, что ограничения в виде неравенств, всегда можно свести к системе в виде равенств (способом введения добавочных неизвестных).
Так, для неравенства
(7.83)
вводя добавочное неизвестное хn+1, получаем
(7.84)
Потребовав его неотрицательности наряду с остальными неизвестными, получим, что условие хn+1( 0 превращает (7.84) в (7.83). Введя по отдельному дополнительному неизвестному для каждого из неравенств, получим систему уравнений, равносильную исходной системе неравенств.
Пример. Дана система неравенств
Сведем ее к системе уравнений. Получим
После оптимизации значениями дополнительных неизвестных следует пренебречь.
СИМПЛЕКС-МЕТОД
Для решения ряда задач линейного программирования существуют специальные методы. Есть, однако, общий метод решения всех таких задач. Он носит название симплекс-метода и состоит из алгоритма отыскания какого-нибудь произвольного допустимого решения и алгоритма последовательного перехода от этого решения к новому допустимому решению, для которого функция f изменяется в нужном направлении (для получения оптимального решения).
Пусть система ограничений состоит лишь из уравнений
(7.85)
и требуется отыскать минимум линейной функции (7.81). Для отыскания произвольного опорного решения приведем (7.85) к виду, в котором некоторые r неизвестных выражены через остальные, а свободные члены неотрицательны (как это сделать - обсудим позднее):
(7.86)
Неизвестные х1, х2, ..., хr - базисные неизвестные, набор {х1, х2, ..., хr} называется базисом, а остальные неизвестные {xr+1, хr+2, …, хn} - свободные. Подставляя (7.86) в (7.81), выразим функцию f через свободные неизвестные:
(7.87)
Положим все свободные неизвестные равными нулю:
(7.88)
Найдем из системы (7.86) значения базисных неизвестных
(7.89)
Полученное таким образом допустимое решение
отвечает базису x1, x2, ..., хr, т.е. является базисным решением. Допустим для определенности, что мы ищем минимумf. Теперь нужно отданного базиса перейти к другому с таким расчетом, чтобы значение линейной функцииfпри этом уменьшилось. Проследим идею симплекс-метода на примере.
Пример 1. Дана система ограничений
Требуется минимизировать линейную функциюf= х2– х3. В качестве свободных переменных выберем х2и x3. Тогда данная система ограничений преобразуется к виду
Таким образом, базисное решение (3, О, О, 1). Так как линейная функция уже записана в свободных неизвестных, то ее значение для данного базисного решенияf= 0. Для уменьшения этого значения можно уменьшить х2или увеличить х3. Но х2в данном базисе равно нулю и потому его уменьшать нельзя. Попробуем увеличить x3. Первое из уравнений имеет ограничение х3= 1 (из условия х1і0), второе - не дает ограничений. Далее, берем х3= 1, х2не меняем и получаем новое допустимое решение (О, О, 1, 3), для которогоf=-1 - уменьшилось. Найдем базис, которому соответствует это решение (он состоит, очевидно, из переменных x3, х4). От предыдущей системы ограничений переходим к новой:
а форма в новых свободных переменных имеет вид
Теперь попробуем повторить предыдущую процедуру. Для уменьшенияfнадо уменьшить либо x1,либо х2, но это невозможно, так как в этом базисе
x1= О, х2= 0.
Таким образом, данное базисное решение является оптимальным, и minf=-1 при x1= О, х2= 0, хз= 1, x4= 3.
Приведем алгоритм симплекс-метода в общем виде. Обычно все вычисления по симплекс-методу сводят в стандартные таблицы.
Запишем систему ограничений в виде
(7.90)
а функциюf
(7.91)
Тогда очередной шаг симплекс-процесса будет состоять в переходе от старого базиса к новому таким образом, чтобы значение линейной функции, по крайней мере, не увеличивалось.
Данные о коэффициентах уравнений и линейной функции занесем в табл. 7.12.
Таблица 7.12
Симплекс-таблица
|
Базис
|
Св.чл. |
|
… |
|
… |
|
| … |
|
… |
|
| | 1 |
… |
0
|
… |
0 |
|
… |
|
… |
|
… |
… |
…
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
| 0 |
… |
1 |
… |
0 |
|
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
| 0 |
… |
0 |
… |
1 |
|
…
|
|
… |
|
| | 0 |
… |
0 |
… |
0 |
|
… |
|
… |
|
