Содержание
Введение 2
1. Линейное или математическое программирование. 4
1.1 Каноническая задача. 6
1.2 Симплекс - метод . 7
1.3 М-метод. 10
1.4 Двойственные задачи . 10
2. Задача планирования производства. 13
2.1 Определение оптимального варианта строительств скважин в УБР на планируемый год. 13
2.2 Двойственная задача. 17
Литература. 20
Введение
В любом из современных курсов экономики в той или иной степени используется математический аппарат: анализируются графики различных зависимостей, проводится математическая обработка тех или иных статистических данных и т.д. С переходом отечественной экономики на рыночные отношения роль математических методов многократно возрастает. Действительно, центральная проблема экономики - это проблема рационального выбора. В плановой экономике ( по крайней мере на микроуровне, т.е. на уровне отдельного предприятия) нет выбора, а значит, роль математического подхода сильно принижена. В условиях же рыночной экономики, когда каждой хозяйственной единице надо самостоятельно принимать решение, т.е. делать выбор, становится необходимым математический расчет. Поэтому роль математических методов в экономике постоянно возрастает.
В чем видятся преимущества математического подхода? Отметим лишь два момента.
1.Возрастает необходимость в уточнении понятий. Математика по сути не может оперировать с нечетко, а тем более неконкретно определенными понятиями. Следовательно, если мы хотим использовать математические методы, то должны с самого начала четко сформулировать задачу. В том числе четко сформулировать все сделанные допущения.
2.Сильная продвинутость математических теорий (линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, корреляционный и регрессионный анализ, дифференциальные уравнения и т.д.) предоставляет к нашим услугам очень мощный и развитый математический аппарат.
Разумеется, в использовании математических методов есть свои слабые стороны. При попытке формализовать экономическую ситуацию может получиться очень сложная математическая задача. Для того чтобы ее упростить, приходится вводить новые допущения, зачастую не оправданные с точки зрения экономики. Поэтому исследователя подстерегает опасность заниматься математической техникой вместо анализа подлинной экономической ситуации. Главное и, по существу, единственное средство борьбы против этого - проверка опытными данными выводов математической теории.
Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении.
Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. Предсказание будущих изменений, например, повышение обменного курса, ухудшение экономической конъюнктуры, падение прибыли может опираться лишь на интуицию. Однако при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи экономических показателей, влияющие на рассматриваемую ситуацию. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз.
Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуации означает, прежде всего, получение лучших результатов или избежание потерь, в том числе и в государственной политике.
Под экономико-математической моделью понимается математическое описание исследуемого экономического процесса и объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Использование математического моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить область экономической информации, интенсифицировать экономические расчеты.
Применение экономико-математических методов и моделей позволяет существенно улучшить качество планирования и получить дополнительный эффект без вовлечения в производство дополнительных ресурсов.
1. Линейное или математическое программирование.
На практике постоянно встречаются такие ситуации, когда достичь какого-то результата можно не одним, а многими различными способами. В подобной ситуации может оказаться и отдельно взятый человек, например, когда он решает вопрос о распределении своих расходов, и целое предприятие или даже отрасль, если необходимо определить, как использовать имеющиеся в их распоряжении ресурсы, чтобы добиться максимального выхода продукции, и, наконец народное хозяйство в целом. Естественно, при большом количестве решений выбираетсянаилучшее.Математически это обычно сводится к нахождению наибольшего или наименьшего значения некоторой функции, т.е. к задаче: найти max (min)f(х) при условии, что переменнаях(обычно говорят - точках) пробегает некоторое данное множествоХ. Пишут так:
f(x)®max (min), xОX(1.1)
Определенная таким образом задача называетсязадачей оптимизации.МножествоХназываетсядопустимым множествомданной задачи, а функцияf(x) - целевой функцией.
В подавляющем большинстве случаев точкахзадается набором из нескольких чисел:
х = (х1, х2, ..., х3),
т.е. является точкой n- мерного арифметического пространстваRn.
Соответственно множествоХесть подмножество вRn.
Очень многое зависит от того, в таком виде задается допустимое множествоХ. Во многих случаяхХвыделяется изRnс помощью системы неравенств (нестрогих):
(1.2)
гдеg1, g2, ..., gn- какие-то заданные функции вRn.
Иначе говоря,Хесть множество точек(х1, х2,..., хn)ОRn,удовлетворяющих системе неравенств (1.2).
В этом случае задача оптимизации приобретает следующий вид. Даны функцияnпеременныхf(х1, х2, ..., хn)и система неравенств (1.1). Требуется найти max (min)fпри условиях (1.1).
f(х1, х2, ..., хn)®max (min) при условиях (1.1).
Понятно, что следует найти не только само значение max (min)f, но и точку или точки, если их несколько, в которых это значение достигается. Такие точки называютсяоптимальными решениями. Множество всех оптимальных решений будем называтьоптимальным множествоми обозначатьХ*.
Задачи подобного рода получили названиезадачи математического программирования( не следует путать математическое программирование с машинным). При этом функциюfназываютцелевойфункцией, а неравенстваgiі0 (i = 1,2,...,m) - ограничениями. В большинстве случаев в число ограничений входят условия неотрицательности переменных:
х1і0, х2і0,..., хnі0
или части переменных, но это, впрочем, не обязательно.
В зависимости от характера функцииf,g1, ...,gmразличают разные виды математического программирования. Наиболее простой и часто встречающийся случай, когда эти функции являются линейными, т.е. каждая из них имеет вид
а1х1+а2х2+ ...+аnхn+b.
Дадим теперь общую формулировку задачи линейного программирования.
Пусть S - система линейных ограничений ( т.е. линейных уравнений или нестрогих линейных неравенств) с n переменнымих1, х2,..., хn, аf(х)-целевая функция вида
f(х) = с1х1+ с2х2+ ...+ сnxn+ c.
Требуется решить задачу
f(х)®max (min) при условияхS.
Обычно системаSвключает в себя условия неотрицательности всех переменных:
х1і0, х2і0,..., хnі0, (1.3)
что вытекает из реального смысла чиселх1, х2,..., хn. Будем называть эти условиятривиальнымиограничениями.
1.1 Каноническая задача.
В этом случае системаS, помимо тривиальных ограничений (1.3), включает в себятолько уравнения.
Определение:
Если ищется max значение функции цели, а все ограничения являются равенством, все переменные не отрицательны, то такая система - называется системой в каноническом виде, а задача - является задачей в канонической форме.
В этом случае модель задач можно записать в векторной форме:
f(х) = с1х1+ с2х2+ ...+ сnxn®max
`А1х1+`А2х2+ ... +`Аnхn= B
xj= 0 (j =1`,n)
`A1=`A2=`B =
Записать задачу в каноническом виде:
f=-х1+2х2-х3+х4®min
xj=0 (j=1`; 4)
Вместо того, чтобы исследовать функциюfна min, будем исследовать на
f1= -fна max.
В ограничениях содержащихЈк левой части прибавим дополнительную не отрицательную переменную. В ограничениях содержащихі- в левой части вычтем не отрицательную дополнительную переменную. Условие не отрицательности в равенство не переводится.
f1= -f =х1- 2х2+ х3- х4®max
хjі0 (j =`1; 7)
Вводимые дополнительные переменные имеют экономический смысл. В ограничении исходной задачи, отражается расход и наличие ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной, показываетколичество не израсходованного ресурсаопределенного вида.
Замечание:Если переменная хкне подчинена условию не отрицательности, ее нужно заменить на разность двух не отрицательных величин
xk= uk+ vk.
Определение:Совокупность не отрицательных чиселх1, х2,..., хn, удовлетворяющих ограничениям задачи, называются допустимым решением или просто планом задачи.
План Х*= (х1*, х2*, ..., хn*) при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальной.
Не нулевые допустимые решения задачи, называются базисными решениями, если соответствуют им векторы`Аjобразуют линейно не зависимую систему.
1.2 Симплекс - метод .
С самого начала укажем, что симплекс-метод в его непосредственной форме предназначен для решения канонической задачи линейного программирования.
Для работы по симплекс-методу требуется:
1.привести задачу к канонической форме;
2.представить ее в векторной форме;
3.заполнить первую симплексную таблицу;
4.проверить план на оптимальность;
5.если план не оптимален, то выбрать разрешающий элемент, произвести пересчет всех элементов симплексной таблицы и перейти к п.4
Производя расчеты по симплекс-методу, нет необходимости выписывать все вычисления подробно. Оказывается, весь процесс можно записать в виде последовательности однотипно заполняемых таблиц, причем каждому шагу будет отвечать переход к новой таблице.
Для построения первой таблицы из векторов`Аjнужно выбрать несколько компонентов, которые образуют единичную матрицу
. И если исходная система ограничений, содержит только неравенстваЈилиі, то при введении дополнительных переменных, сразу получают базисные векторы, которые образуют первый базис в симплекс-таблицах.
|
Сб
|
Хб |
план |
С1
х1 |
С2
х2 |
.....
.... |
Сn
хn |
|
|
|
| | | | |
| | | | | | | |
|
Dj
|
|
D0
|
D1 |
D2 |
... |
Dn |
В верхней строке записывают коэффициенты при переменных целевых функций. В столбцы х 1 , х 2 , ..., х n- заносят элементы векторов`А1,`А2,`Аn. В столбец план - заносят компоненты вектора`В. Столбец Х б- отображает переменные входящие в базис. Их индексы совпадают с индексами базисных векторов. Столбец С б- коэффициенты при базисных переменных в целевой функции.
Проверка плана на оптимальность. Нижняя строка симплекс-таблицыDj - называется индексной.
D0=`Сб*`В;
Dj=`Сб*`хj- СjилиDj=`Cб *`Аj- Cj
Она служит для проверки опорного плана на оптимальность. Если всеDjі0, то все планы являются оптимальными.
Переход от одного базисного решения к другому, осуществляется исключением из базиса какого-нибудь из векторов и введением в него нового вектора.
1.В качестве разрешающего столбца выбирают столбец для которого элемент индексной строкиDрявляется самым маленьким отрицательным числом.
2.Находим отношения компонент столбца план к неотрицательным элементам разрешающего столбца.
3.Выбираем наименьшее из данных отношений. Строка с ним называется разрешающей.
4.На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки стоит разрешающий элементаqp. Индексы q и p обозначают, что из базиса выводится`Аq, а вместо него вводится`Аp. Разрешающий элемент обычно обводят в таблице.
5.На месте разрешающего элемента в новой симплекс-таблице ставят 1, остальные элементы разрешающего столбца 0.
6.Все элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент.
7.Остальные элементы симплекс-таблицы пересчитывают по формулам Жордана-Гаусса.
Замечание:Если по индексной строке определили разрешающий столбец, но в нем все элементы не положительные, то задача не имеет решений.
Следующий этап - это определение оптимального плана из симплекс-таблицыХ*= (х1*, х2*, ..., хn*).Оптимальное решение выписывают из столбцов Хби план. Столбец Хб- показывает, какие неизвестные отличны от 0. Столбец план - показывает, чему они равны.
D0- в последней симплекс-таблицы равно max значению целевой функции.
Алгоритм работы по симплекс-методу:
1. Выделяем исходный допустимый базис и заполняем первую таблицу.
2. Если в последней строке полученной таблицы, кроме, быть может, первого числа, нет положительных чисел, то базисное решение является оптимальным - задача решена.
3. Пусть среди указанных в пункте 2 чисел имеется положительное число( скажем, в столбце хj). Отмечаем столбец Хjвертикальной стрелкой. Просматриваем остальные числа этого столбца. Если среди них нет положительных чисел, то minf= -Ґ- задача решений не имеет.
4. Пусть среди просмотренных в п.3 чисел имеются положительные числа. Для каждого из таких чиселaсоставляем отношение
, гдеb -первое число в той же строке (свободный член). Из всех таких отношений выбираем наименьшее. Пусть оно соответствует строке базисного неизвестногохi. Отмечаем эту строку горизонтальной стрелкой. Числоa, стоящее в отмеченной строке и отмеченном столбце,называется разрешающим элементомтаблицы.
5. Переходим к новой таблице. Для этого отмеченную строку умножаем на
( чтобы на месте разрешающего элемента появилась единица) и пишем ее на месте прежней. К каждой из остальных строк таблицы прибавляем строку, полученную на месте отмеченной строки, умноженную на такое число, чтобы элемент, стоящий в отмеченном столбце, обратился в 0.
6. С новой таблицей возвращаемся к п.2
1.3 М -метод.
Для решения М-задачи можно воспользоваться симплекс-методом, поскольку указан допустимый базис.
При решении М-задачи могут представиться две возможности:
1. М-задача имеет решение, т.е.min Fсуществует.
2. М-задача не имеет решения,min F =Ґ.
Решая М-задачу, мы стремимся получить оптимальное решение, в котором значения искусственных неизвестных равны нулю. Для того чтобы этого достичь, необходимо выбрать последовательность шагов таким образом, чтобы все искусственные неизвестные вышли из базиса, т.е. стали свободными. Тогда в базисном решении значения этих неизвестных и будут как раз нулями.
Таким образом, переходя при решении М - задачи от одного базиса к другому, мы стараемся в первую очередь выводить из базиса одно искусственное неизвестное за другим. Возможны, впрочем, и такие (досадные) случаи, когда в процессе решения приходится заменять одно искусственное неизвестное на другое (выбор разрешающего элемента по-другому не получается). Но общим направлением вычислительного процесса во всех случаях остается постепенный вывод искусственных неизвестных из базиса.
1.4 Двойственные задачи .
С каждой задачей линейного программирования связана другая задача, называемаядвойственнойпо отношению к исходной. Совместное изучение данной задачи и двойственности к ней дает, как правило, значительно больше информации.
Задачи I и I’ называются двойственными друг другу. Смысл, который вкладывается в это название, состоит в следующем.
1.Если первая задача имеет размеры m x n ( m - ограничений с n неизвестными), то вторая - размеры n x m.
2.Матрицы из коэффициентов при неизвестных в левых частях ограничений обеих задач являются взаимно транспонированными .
3.В правых частях ограничений в каждой задаче стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции другой задачи.
4.В задаче I все ограничения представляют собой неравенства типаЈ, причем в этой задаче требуется достичь maxf. Напротив, в задаче I’ все ограничения суть неравенства типаі, причем требуется достичь minj.
Двойственная задача заключается в минимизации общей оценки всего имеющегося количества ресурсов.
Взаимозависимость оптимальных решений пары двойственных задач определена следующими теоремами:
Теорема (основное неравенство). Пусть Х - какое-нибудь допустимое решение задачи I, т.е. любое решение системы, а Y - какое-нибудь допустимое решение задачи I’ - любое решение системы. Тогда справедливо неравенство
f(Х) Ј j (Y).
Следствие1 (достаточный признак оптимальности). Если для каких-то допустимых решений
и
задач I и I’ выполняется равенство
f()=j(),
то
есть оптимальное решение задачи I, а
- оптимальное решение задачи I’.
Следствие2.Если в одной из задач I и I’ целевая функция не ограничена с соответствующей стороны (т.е. max f =Ґв задаче I или minj= -Ґв задаче I’), то другая задача не имеет допустимых решений.
Основная теорема. Если разрешима одна из двойственных задач I или I’, то разрешима и другая задача, причем max f = minj.
Теорема равновесия. П усть Х и Y- допустимые решения задач I и I’. Для оптимальности (одновременной) этих решений необходимо и достаточно выполнение равенств
Решение двойственной задачи находится в строкеDjсимплекс-таблицы в последних столбцах дополнительных переменных. Переменныеyiобозначают оценки одной единицы ресурса.
Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.
Двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи. Если целью является расширение производства и повышение эффективности плана путем привлечения дополнительных ресурсов, то анализ оценок поможет выбрать правильное решение. Прирост различных ресурсов будет давать неодинаковый эффект, т.е. оценки позволяют с большей точностью выявить узкие места, сдерживающие рост эффективности производства. С учетом всех конкретных условий задачи оценки показываю, какие ресурсы более дефицитны, какие менее дефицитны и какие избыточны. Дефицитные ресурсы имеют самые высокие оценки.
2. Задача планирования производства.
2.1 Определение оптимального варианта строительств скважин в УБР на планируемый год.
