R2 = 0.8921, Radj2 = 0.8992, стандартная ошибка регрессии 0.2013.
Из анализа t – статистик видно, что все коэффициенты, кроме коэффициентов при R1 e R2, значимы на 95%-доверительном уровне.
Коэффициент при LOGLIVSP, равный 0.67, означает, что увеличение жилой площади квартиры на 1% увеличивает ее цену на 0.67%. Иначе говоря, эластичность цены квартиры по жилой площади равна 0.67.
Несколько сложнее объяснить значение коэффициентов при Несколько сложнее объяснить значение коэффициентов при LOGPLAN и LOGKITSP. Для их объяснения мы решили использовать следующий пример. Предположим, что есть две квартиры с одинаковой кухней, скажем 9 кв. м, но разными по площади остальными вспомогательными помещениями. Например, в первой квартире эта площадь равна 11 кв. м, а во второй 12 кв. м. Таким образом, во второй квартире общая площадь вспомогательных помещений (21 кв. м) на 5% больше, чем в первой. Такое увеличение площади, с фиксированной площадью кухни, в соответствии с нашей моделью должно привести к увеличению цены второй квартиры по сравнению с первой на 5*0.431 = 2.15%. теперь представим себе, что имеется квартира с кухней 10 кв. м и площадью остальных вспомогательных помещений 11 кв. м. Общая площадь вспомогательных помещений в такой квартире, как и в предыдущем случае, 21 кв. м. Однако теперь мы ожидаем увеличение цены третьей квартиры по сравнению с первой квартирой на 5*0.431 +
+ 5*0.147 = 2.89%, то есть увеличение площади вспомогательных помещений за счет кухни приводит к большему увеличению цены квартиры, чем такое же увеличение за счет, скажем коридора.
Отрицательное значение коэффициента при LOGDIST (-0.114) означает, что увеличение расстояния от центра города на 1% уменьшает цену квартиры на 0.11%. Эксперты считают, что в действительности цена квартиры зависит также от “качества” района, в котором она расположена, а не только от ее расстояния от центра, однако влияния фактора “качества” не рассматривалось в данном исследовании.
Существует мнение экспертов, что рынок квартир достаточно отчетливо делится на три сектора: рынок однокомнатных квартир, ранок квартир среднего размера (от 2 до 4 комнат) и рынок больших квартир. Для проверки этого утверждения тестируем с помощью F-статистики гипотезу Н 0, что коэффициенты при R2, R3, R4 равны:
Получаем следующий результат:
F- статистика 0.22315 Р-значение 0.8001,
который показывает, что мы не можем вернуть гипотезу, что для квартир с числом 2 – 4 формулы (*) расчета цены совпадают. Однако тестирование гипотезы Н 0:
о совпадении формул для одно- и двух комнатных квартир дает следующее значение F-статистики:
F-статистики 3.03188 Р-значение 0.0823.
С вероятностью ошибиться, меньшей 10%, можно отвергнуть гипотезу о совпадение формул (*) для одно- и двухкомнатных квартир.
Модель парной линейной регрессии .
Коэффициент корреляции показывает, что две переменные связаны друг с другом, однако он не дает преставления о том, каким образом они связаны. Рассмотрим более подробно те случаи, для которых мы предполагаем, что одна переменная зависит от другой.
Сразу же отметим, что не следует ожидать получения точного соотношения между какими-либо двумя экономическими показателями, за исключением тех случаев, когда оно существует по определению.
Начнем с рассмотрения простейшей модели:
(1.2)
Величина o, рассматриваемая какзависимая переменная, состоит из двух составляющих: 1) неслучайной составляющей, гдеoвыступает какобъясняющая(или независимая)переменная, а постоянные величиныe-как параметры уравнения; 2) случайного членаu.
На рис. 1.1 показано, как комбинация этих двух составляющих определяет величинуу. Показатели– это четыре гипотетических значения объясняющей переменной. Если бы соотношение междууихбыло точным, то соответствующие значенияубыли бы представлены точкаминаQ1, Q2, Q3, Q4прямой. Наличие случайного члена приводит к тому, что в действительности значениеуполучается другим. Предполагалось, что случайный член возмущения положителен в первом и четвертом наблюдениях и отрицателен в двух других. Поэтому если отметить на графике реальные значенияупри соответствующих значенияхх, то мы получим точкиР1,Р2,Р3,Р4.
Следует подчеркнуть, что точкиР– это единственные точки, отражающие реальные значения переменных на рис. 1.1. Фактические значенияee, следовательно, положение точекQнеизвестны, так же как и фактические значения случайного члена. Задача регрессионного анализа состоит в получение оценокeи, следовательно, в определении положения прямой по точкамР.
Очевидно, что чем меньше значения и, тем легче эта задача. Действительно, если бы случайный член отсутствовал вовсе, то точки Р совпали бы с точками Q и точно бы показали положение прямой. В этом случае достаточно просто построить эту прямую и определить значенияe.
Рис. 1.1. Истинная зависимость междуoeo
Почему же существует случайный член? Имеется несколько причин.
1. Невключение объясняющих перемен.Соотношение междууихпочти наверняка является очень большим упрощением. В действительности существуют другие факторы, влияющие нау, которые не учтены в формуле (1.2). Влияние этих факторов приводит к тому, что наблюдаемые точки лежат вне прямой. Часто происходит так, что имеются переменные, которые мы хотели бы включить в регрессионное уравнение, но не можем этого сделать потому, что не знаем, как их измерить, например психологические факторы. Возможно, что существуют так же другие факторы, которые мы можем измерить, но которые оказывают слабое влияние, что их не стоит учитывать. Кроме того, могут быть факторы, которые являются существенными, но которые мы из-за отсутствия опыта не считаем. Объединив все эти составляющие, мы получаем то, что обозначено, каки. Если бы мы точно знали, какие переменные присутствуют здесь, и имели возможность, точно их измерить, то могли бы включить их в уравнение и исключить соответствующий элемент из случайного члена. Проблема состоит в том, что мы никогда не можем быть уверены, что входит в данную совокупность, а что – нет.
2. Агрегирование переменных.Во многих случаях рассматриваемая зависимость – это попытка объединить вместе некоторое число микроэкономических соотношений. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидах о расходах. Так как отдельные соотношения, вероятно, имеют разные параметры, любая попытка определить соотношение между совокупности расходами и доходом является лишь аппроксимацией. Наблюдаемое расхождение при этом приписывается наличию случайного члена.
3. Неправильное описание структуры модели.Структура модели может быть описана неправильно или не вполне правильно. Здесь можно провести один из многих возможных примеров. Если зависимость относится к данным о временном ряде, то значениеуможет зависеть не от фактического значениях, а от значения, которое ожидалось в предыдущем периоде. Если ожидаемое и фактическое значения тесно связаны, то будет казаться, что междууихсуществует зависимость, но это будет лишь аппроксимация, и расхождение вновь будет связано с наличием случайного члена.
4. Неправильная функциональная спецификация.Функциональное соотношение междууихматематически может быть определено неправильно. Например, истинная зависимость может не являться линейной, а быть более сложной. Безусловно, надо избежать возникновения этой проблемы, использую подходящую математическую формулу, но любая самая изощренная формула является лишь приближением, и существующее расхождение вносит вклад в остаточный член.
5. Ошибка измерения.Если в измерении одной или более взаимосвязанных переменных имеются ошибки, то наблюдаемые значения не будут соответствовать точному соотношению, и существующее расхождение будет вносить вклад в остаточный член.
Остаточный член является суммарным проявлением всех этих факторов. Очевидно, что если бы нас интересовало только измерение влияние Остаточный член является суммарным проявлением всех этих факторов. Очевидно, что если бы нас интересовало только измерение влияниехнау, то было бы значительно удобнее, если бы остаточного члена не было. Если бы он отсутствовал, мы бы знали, что любое изменениеуот наблюдения к наблюдению вызвано изменениемх, и смогли бы точно вычислить. Однако в действительности каждое изменениеуотчасти вызвано изменениеми, и это значительно усложняет жизнь. По этой причинеииногда описывается как шум.
Интерпретация уравнения регрессии.
Существуют два типа интерпретации уравнения регрессии. Первый этап состоит в словесном истолковании уравнения так, чтобы это было понятно человеку, не являющемуся специалистом в этой области статистики. На втором этапе необходимо решить, следует ли ограничиться этим или провести более длительное исследование зависимости.
В рассматриваемом случае экстраполяция к вертикальной оси приводит к выводу о том, что если доход был бы равен нулю, то расходы на питание составили бы 55.3 млрд. долл. такое толкование может быть правдоподобным в отношении отдельного человека, так как он может израсходовать на питание Оба этапа чрезвычайно важны. Второй этап мы рассмотрим несколько позже, а пока обратим основное вниманиена первый этап. Это будет проиллюстрировано моделью регрессии для функции спроса, т.е. регрессией между расходами потребителя на питание (у) и располагаемым личным доходом (х) по данным, приведенным в таблице для США за период с 1959 по 1983 г. Данные представлены в виде графика.
Предположим, что истинная модель описывается следующим выражением:
(1.3)
и оценена регрессия
(1.4)
Полученный результат можно истолковать следующим образом. Коэффициент прих(коэффициент наклона) показывает, что еслихувеличивается в на одну единицу, тоувозрастает на 0.093 единицы. Какх, так иуизмеряются в миллиардах долларов в постоянных ценах; таким образом, коэффициент наклона показывает, что если доход увеличивается на 1 млрд. долл., то расходы на питание возрастают на 93 млн. долл. Другими словами, из каждого дополнительного доллара дохода 9.3 цента будут израсходованы на питание.
Что можно сказать о постоянной в уравнение? Формально говоря, она показывает прогнозируемый уровеньЧто можно сказать о постоянной в уравнение? Формально говоря, она показывает прогнозируемый уровень у, когдах=0. Иногда это имеет ясный смысл, иногда нет. Еслих=0 находится достаточно далеко от выборочных значенийх, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам; даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантии, что так же будет при экстраполяции влево или вправо.
График. Регрессионная зависимость расходов на питание от доходов
(США, 1959-1983гг.)
В данном случае константа выполняет единственную функцию: она позволяет определить положение линии регрессии на графике.
При интерпретации уравнения регрессии чрезвычайно важно помнить о трех вещах. Во-первых,aявляется лишь оценкой
,ab– оценкой
. Поэтому всяинтерпретация в действительности представляет собой лишь оценку. Во-вторых, уравнение регрессии отражает только общую тенденцию для выборки. При этом каждое отдельное наблюдение подвержено воздействию случайностей. В-третьих, верность интерпретации зависит от правильности спецификации уравнения.
Интерпретация линейного уравнения регрессии.
Представим простой способ интерпретации коэффициентов линейного уравнения регрессии
когдауих– переменные с простыми, естественными единицами измерения.
Во-первых, можно сказать, что увеличениехна одну единицу (в единицах измерения переменнойх) приведет к увеличению значенияунаbединиц (в единицах измерения переменнойу). Вторым шагом является проверка, каковы действительны единицы измеренияхиу, и замена слова “единица” фактическим количеством. Третьим шагом является проверка возможности более простого выражения результата, который может оказаться не вполне удобным.
Качество оценки: коэффициент R2
Цель регрессионного анализа состоит в объяснении поведения зависимой переменнойЦель регрессионного анализа состоит в объяснении поведения зависимой переменной
. В любой данной выборке
оказывается сравнительно низким в одних наблюдениях и сравнительно высоким – в других. Мы хотим знать, почему это так. Разброс значений
в любой выборке можно суммарно описать с помощью выборочной дисперсии
Мы должны рассчитывать величину этой дисперсии.
В парном регрессионном анализе мы пытаемся объяснить поведение
путем определения регрессионной зависимости
от соответственно выбранной зависимой переменной
. После построения уравнения регрессии мы можем разбить значение
a eaaii наблюдении на две составляющих –
e
:
(1.5)
Величина
– расчетное значение
a наблюденииi– это то значение, которое имел бы
при условии, что уравнение регрессии было правильным, и отсутствии случайного фактора. Это, иными словами, величина
, спрогнозированная по значению
в данном наблюдении. Тогда остаток
есть расхождение между фактическим и спрогнозированным значениями величины
. Это та часть
, которую мы не можем объяснить с помощью уравнения регрессии.
Используя (1.5), разложим дисперсию
:
(1.6)
Далее, оказывается, что
должна быть равна нулю. Следовательно, мы получаем:
(1.7)
Это означает, что мы можем разложить
на две части:
– часть, которая “объясняется” уравнением регрессии в вышеописанном смысле, и
– “необъясненную” часть1.
Согласно (3),
– это часть дисперсии
, объясненная уравнением регрессии. Это отношение известно как коэффициент детерминации, и его обычно обозначают R2 :
(1.8)
что равносильно
(1.9)
Максимальное значение коэффициентаR2 равно единице. Это происходит в том случае, когда линия регрессии точно соответствует всем наблюдениям, так что
для всех i и все остатки равны нулю. Тогда
e R2=1.
Если в выборке отсутствует видимая связь между
и
, то коэффициент R2 будет близок к нулю.
При прочих равных условиях желательно, чтобы коэффициент R2aue как можно больше. В частности, мы заинтересованы в таком выборе коэффициентовaиb, чтобы максимизировать R2.Не противоречит ли это нашему критерию, в соответствие, с которымaиbдолжны быть выбраны таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов остатков?Что эти критерии эквивалентны, если (1.9) используется как определение коэффициента R2. Отметим сначала, что
(1.10)
откуда, беря среднее значениеeiпо выборке и используя уравнение
(1.11),
получим:
. (1.12)
Следовательно,
(1.13)
Отсюда следует, что принцип минимизации суммы квадратов остатков эквивалентен минимизации дисперсии остатков при условии выполнения (1.12).
Однако если мы минимизируем
то при этом в соответствии с (1.9) aавтоматически максимизируется коэффициент R2.
Альтернативное представление коэффициента R2.
На интуитивном уровне представляется очевидным, что чем больше соответствие, обеспечиваемое уравнением регрессии, тем больше должен быть коэффициент корреляции для фактических и прогнозных значений
, и наоборот. Покажем, что R2фактически равен квадрату такого коэффициента корреляции между
и
,который мы iaiciaei
(заметим, что
= 0):
Метод производных функций.
Взаимодействие различных факторов производства, в том числе научно-технического прогресса, на объем производства позволяет показать метод производственных функций. Это метод соизмерения результатов производства с затратами производственных ресурсов.
Производственные функции имеют такие характеристики, как общая эффективность технологии, эффект от изменения масштаба производства, трудоемкость технологии, эластичность замены факторов. Анализ этих характеристик позволяет правильно оценить как общую эффективность производства, так и сводную эффективность экзогенных факторов. Математический аппарат производственных функций позволяет достаточно легко переходить от специфических характеристик производственных функций к традиционным показателям эффективности производства, расчет которых строится на использовании показателей производительности труда, трудоемкости, фондоотдачи, конечных результатов производства, их приростных характеристиках.
Применение производственных функций в прогнозировании деятельности предприятия имеет свою специфику:
- обоснование выбора и выбор определенного вида производственной функции из очень обширного круга производственных функций, различных по сложности, используемому математическому аппарату и уровню агрегирования показателей;
- разработка аппарата оценки параметров и их оценка при помощи эмпирической информации для выбранной производственной функции;
- обеспечение правильности идентификации основных производственных факторов, соблюдение однородности факторов.
Использование аппарата производственных функций идет от простого к все более сложному. В частности приведены примеры использования функции CES, при помощи которой возможен анализ влияния научно-технического прогресса на экономический рост, структурные сдвиги в развитии экономики предприятия1. Производственные функции имеют некоторые недостатки, ограничивающие их применение. В частности для функции CES:
1) нужна осторожность в интерпретации меры экономии от масштаба;
2) возникают трудности в обобщении ее на n факторов производства;
3) параметры производственной функции трудно оценить.
ГЛАВА 2. Эконометрическая модель по временным рядам продукции, основных фондов и численности занятых
Имитационная модель, описывающая взаимосвязи производства, основных фондов и инвестиционных потоков предполагает наличие достаточнодетальной информации. Учитывая особую актуальность и значимость для инвестиционной сферы проблемы наполнения бюджетов различных уровней, в модели предусмотрено вариантное прогнозирование вероятных налоговых поступлений. Предполагается увязка различных вариантов развития основных отраслей и крупных предприятий экономики города с налогооблагаемыми показателями (товарная, реализованная продукция, среднесписочнаяИмитационная модель, описывающая взаимосвязи производства, основных фондов и инвестиционных потоков предполагает наличие достаточнодетальной информации. Учитывая особую актуальность и значимость для инвестиционной сферы проблемы наполнения бюджетов различных уровней, в модели предусмотрено вариантное прогнозирование вероятных налоговых поступлений. Предполагается увязка различных вариантов развития основных отраслей и крупных предприятий экономики города с налогооблагаемыми показателями (товарная, реализованная продукция, среднесписочнаячисленность, фонд оплаты труда, стоимость имущества, балансовая прибыль и т.д.). На этой основе рассчитываются объемы причитающихся к уплате налогов (федеральных, областных и местных), а также отчислений во внебюджетные фонды. С другой стороны, возможна оценка влияния мер селективной поддержки (льготы, налоговый кредит и т.д.) на динамику развития отраслей, а значит, и на размер налогооблагаемых показателей и налоговые поступления (с учетом реальной возможности их уплаты). Модель также "достроена" регрессионными моделями для прогнозирования фактических налоговых поступлений. Модель ориентирована на действующую в РФ систему статистической и бухгалтерской отчетности.
В модели рассматриваются следующие субъекты хозяйствования, как предприятия (частные, товарищества, ООО, кооперативы; акционерные (ОАО, ЗАО); унитарные: а) федеральные; б) областные; в) муниципальной (городской) собственности).
В качестве объектов модели можно рассматривать крупные (наиболее значимые для экономики города) предприятия, остальное хозяйство города - в агрегированном виде.
Введем обозначения модели:
t – год;
ТП – объем товарной продукции;
НДС - налог на добавленную стоимость (с учетом компенсации налога по приобретенным материальным ценностям);
АКЦ - акцизы и другие косвенные налоги;
РП – объем реализованной продукции за год;
НРП – остаток нереализованной продукции;
С – себестоимость продукции;
МЗ – материальные затраты;
АМ – амортизационные отчисления;
ОПЛ – оплата труда (в части, относимой на себестоимость продукции);
ПЕНС – отчисления в пенсионный фонд;
МЕДФ,МЕДО – отчисления в ФФОМС и ТФОМС;
СОЦС – отчисления в фонд социального страхования;
ЗАН – отчисления в фонд занятости;
СН – отчисления на социальные нужды;
ПРЗ – прочие затраты;
ПР – прибыль от реализации;
РПР - результат от прочей реализации;
ВНЕО – сальдо внереализационных операций;
ПБ - балансовая прибыль (убыток);
Л – затраты и расходы, учитывающиеся при начислении льгот по налогу на прибыль;
КВ – финансирование производственных и непроизводственных капиталовложений;
НИОКР – затраты на проведение научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ;
СОЦСФ – затраты на содержание объектов и учреждений социальной сферы;
БЛАГ – расходы на благотворительные цели;
ПОБЛ - облагаемая прибыль;
NР - ставка налога на прибыль;
НАЛПР – налог на прибыль;
НАЛФ -налоги, относимые на финансовые результаты;
ПЧ – чистая прибыль;
НАЛИМ – налог на имущество;
РЕЗ – отчисления в резервные фонды;
НАЛПР – прочие налоги, относимые на финансовые результаты;
НАК – фонд накопления;
ПОТР – фонд потребления;
БЛАГ – расходы на благотворительные цели;
ДР – другие расходы из прибыли;
САНФ– сальдо санкций, пени, штрафов, выплачиваемых из чистой прибыли;
ПРАСП – прибыль, остающаяся в распоряжении предприятия.
Моделируются процессы реализации продукции, формирования и распределения прибыли на предприятиях.
Определяются объемы реализации продукции, ее себестоимость, отчисления во внебюджетные фонды :
(2.1)
. (2.2) Отчисления в социальные фонды рассчитываются по установленным ставкам от фонда оплаты труда (ОПЛ).
Прибыль формируется не только от реализации продукции, но и от прочей реализации, а также от внереализационных операций :
(2.3)
При определении налога на прибыль предварительно определяется налогооблагаемая прибыль, то есть учитываются установленные законодательством льготы :
(2.4)
