МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ.
Выполнил:
Проверил:
г.Пермь 2000.
Построение математической модели прогнозирования поведения является трудной задачей в связи с сильным влиянием политических и других проблем (выборы, природные катаклизмы, спекуляции крупных участников рынка…).
В основе модели лежит анализ некоторых критериев с последующим выводом о поведении доходности и ценовых показателей. В набор критериев входят различные макро- и микроэкономические показатели, информация с торговых площадок, экспертные оценки специалистов. Процедура прогнозирования состоит из этапов:
2. Подготовка и предварительная фильтрация данных;
4. Аппроксимация искомой зависимости линейной функцией;
6. Моделирование погрешности с помощью линейной сети.
Но для повышения точности модели практикуется нелинейный анализ с использованием многослойной однородной нейронной сети. Этапы проведения нелинейного анализа в системе совпадают со стандартными шагами при работе с нейросетями.
1-й этап. Подготовка выходных данных.
Выходными данными являются z i = y i -p i, где y i- реальное значение прогнозируемой величины на некоторую дату, p i- рассчитанное на эту дату с помощью линейного анализа.
2-й этап. Нормирование входных сигналов.
(1)
где x ij - j-я координата некоторого критерия X i , M[X i ] - выборочная оценка среднего квадратичного отклонения.
3-й этап. Выбор функции активации и архитектуры нейронной сети.
Используются функции активации стандартного вида (сигмоидная, ступенчатая), а также следующего вида:
(2)
(3)
(4)
(5)
Архитектура нейронной сети представлена на рисунке:
вектор
входных
сигналов вектор
выходн.
Вектор сигналов
входных
сигналов
Введены следующие обозначения:Sj- линейные сумматоры; f j- нелинейные функции; используемые для аппроксимации;S- итоговый сумматор.
4-й этап. Выбор алгоритма обучения нейронной сети, основанного на одном из следующих методов: обратного распространения ошибки, градиентного спуска, метода сопряженных градиентов, методе Ньютона, квазиньютоновском. Методы оцениваются по времени, затрачиваемому на обучение и по величине погрешности.
5-й этап. Итоговые вычисления границ прогнозируемого значения: P=P лин +Р нелин ±Е нелин
где Р — итоговое прогнозируемое значение, Р лини Р нелинзначение линейного и нелинейного анализов. Е нелин— погрешность полученная на этапе нелинейного анализа.
Результаты задачи прогнозирования используются в построенной на ее основе задаче оптимального управления инвестиционным портфелем. В основе разработанной задачи управления идея минимизации трансакционных издержек по переводу портфеля в класс оптимальных.
Используемый поход основан на предположениях, что эффективность инвестирования в некий набор активов является реализацией многомерной случайной величины, математическое ожидание которой характеризует доходность (m={m i } i=1..n , где m i =M[R i ], i=1..n) , матрица ковариаций — риск (V=(V ij ), i,j=1..n, где V ij =M[(R i -m i )(R j -m j )],i,j=1..n) . Описанные параметры (m,V) представляют собой оценку рынка и являются либо прогнозируемой величиной, либо задаются экспертно. Каждому вектору Х , описывающему относительное распределение средств в портфеле, можно поставить в соответствие пару оценок: m x =(m,x), V x =(Vx,x) . Величина m xпредставляет собой средневзвешенную доходность портфеля, распределение средств в котором описывается вектором Х величина Vх (вариация портфеля [3,5]) является количественной характеристикой риска портфеля х . Введем в рассмотрение оператор Q , действующий из пространства R nв пространство R 2(критериальная плоскость [3]), который ставит в соответствие вектору х пару чисел (m x , V x ) : Q: Rn-R2Ы"xМR n , x®((m,x),(Vx,x)). (7)
В задаче управления допустимыми считаются только стандартные портфели, т.е. так называемые портфели без коротких позиций. Правда это накладывает на вектор х два ограничения: нормирующее условие (е,х)=1 , где е – единичный вектор размерности n, и условие неотрицательности доли в портфеле, х>=0 . Точки удовлетворяющие этим условиям образуют dв пространстве R nтак называемый стандартный (n-1)-мерный симплекс. Обозначим его D . D={xМR n Ѕ(e,x)=1, xі0}
Образом симплекса в критериальной плоскости будет являться замкнутое ограниченное множество оценок допустимых портфелей. Нижняя граница этого множества представляет собой выпуклую вниз кривую, которая характеризует Парето – эффективный с точки зрения критериев выбор инвестора (эффективная граница [3], [5]). Прообразом эффективной границы в пространстве R nбудет эффективное множество портфелей [5]. Обозначим его как y . Данное множество является выпуклым: линейная комбинация эффективных портфелей также представляет собой эффективный портфель [3].
Пусть в некоторый момент времени у нас имеется портфель, распределение средств в котором описывается вектором х . Тогда задачу управления можно сформулировать в следующем виде: найти такой элемент y , принадлежащий y , что r(y,x) . Иными словами, для заданной точки х требуется найти ближайший элемент y , принадлежащий множеству Y . В пространстве R nсправедлива теорема, доказывающая существование и единственность элемента наилучшего приближения х элементами множества Y [6]. Метрика (понятие расстояния) может быть введена следующим образом: r(x,y)=aS i=1,n sup(y i -x i ,0)+bS i=1..n sup(x i -y i ,0) , (9)
где a>0 — относительная величина издержек при покупке, b>0 — относительная величина издержек при продаже актива.
Литература
2. Сборник статей к 30-ти летию кафедры ЭК. ПГУ.
4. Ивлиев СВ Модель прогнозирования рынка ценных бумаг. 6-я Всероссийская студенческая конференция «Актуальные проблемы экономики России»: Сб.тез.докл. Воронеж, 2000.
6. Ивлиев СВ Модель оптимального управления портфелем ценных бумаг. Там же.
