fij– частота i-го признака в j группе
Существует правило которое связывает 3 вида дисперсии, оно называется правило сложения дисперсии.
- остаточная дисперсия поjгруппе
- сумма частот поjгруппе
n– общая сумма частот
§7
основная задача анализа вариационных рядов – выявление закономерности распределения частот.
Кривая распределения – графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду в функционально связанным изменением значения признака.
Кривую распределения можно построить с помощью полигона и гистограммы. Целесообразно свести эмпирическое распределение к теоретическому, к одному из хорошо изученных виду.
Различают следующие разновидности кривых распределения:
1. одновершинные
2. много вершинные
Для однородных совокупностей характерны одновершинные кривые, много вершинная кривая говорит о неоднородности совокупности и необходимости перегруппировки.
Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, и расчет асимметрии и эксцесса. Для симметричных распределений
Для сравнительного изучения асимметрии различных распределений вычисляется коэффициент асимметрии As.
где
- центральный момент третьего порядка;- СКО в кубе;
Если, то асимметрия значительная
Если As0, то As – правосторонняя.
Если, то As незначительная. Для симметричных и умеренно асимметричных рассчитывается показатель эксцесса:, если Ек>0, то распределение островершинное, если Ek §8.
Вариация альтернативного признака количественно проявляется следующим образом.
0 – единицы не обладающие данным признаком;
1 – единицы обладающие данным признаком;
Пусть:
р– доля единиц обладающих данным признаком;
q– доля единиц не обладающих данным признаком;
тогдаp+q=1.
Альтернативный признак принимает 2 значения 0 и 1 с весамиpиq.
;
Прямые признаки– это такие признаки, величина которых увеличивается с увеличением исследуемого явления.
Обратные признаки –признаки, величина которых уменьшается с увеличением исследуемого явления.
Максимальная дисперсия доли равна 0,25.
Тема 6: Моделирование рядов распределения.
§1. Фактическое и теоретическое распределение
§2. Кривая нормального распределения.
§3. Проверка гипотезы о нормальном распределении.
§4. Критерии согласия: Пирсона, Романовского, Колмогорова.
§5. Практическое значение моделирования рядов распределения.
§1. Фактическое и теоретическое распределение
Одна из важнейших целей изучения рядов распределения состоит в том, чтобы выявить закономерность распределения и определить ее характер. Закономерности распределения наиболее отчетливо проявляются только при большом количестве наблюдений.
Фактическое распределение может быть изображено графически с помощью кривой распределения – графически изображается в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду функционально связанного с изменением варианта.
Под теоретической кривой распределения понимается кривая данного типа распределения в общем виде исключающего влияние случайных для закономерности факторов.
Теоретическое распределение может быть выражено аналитической формулой которая называется аналитической формулой. Наиболее распространенным является нормальное распространение.
§2. Кривая нормального распределения.
Закон нормального распределения:
;
у – ордината нормального распределения
t – нормированное отклонение.
; е=2,7218;xi–варианты вариационного ряда;- среднее;
Свойства:
Функция нормального распределения – четная, т.е. f(t)=f(-t),. Функция нормального распределения полностью определяетсяи СКО.
§3. Проверка гипотезы о нормальном распределении.
Причиной частого обращения к закону распределения является то, что зависимость возникающая в результате действия множества случайных причин ни одна из которых не является преобладающей. Если в вариационном ряду рассчитали Мо=Ме, то это может указывать на близость к нормальному распределению. Наиболее точная проверка соответствия нормальному закону производится с помощью специальных критериев.
§4. Критерии согласия: Пирсона, Романовского, Колмогорова.
Критерий Пирсона.
- теоретическая частота
- эмпирическая частота
Методика расчета теоретических частот.
1. Определяется среднее арифметическое ипо интервальному вариационному ряду, считается t по каждому интервалу.
2. Находим значение плотности вероятности для нормированного закона распределения.СТР.49
3. Находим теоретическую частоту.
l – длина интервала
- сумма эмпирических частот
- плотность вероятности
округлить значение до целых
4. Расчет коэффициента Пирсона
5. табличное значение
d.f. – количество интервалов – 3
d.f. – количество степеней свободы.
6. если>, то распределение не является нормальным, т.е. гипотеза о нормальном распределении отменяется. Если<, то распределение является нормальным.
Критерий Романовского.
- критерий Пирсона расчетный;
- число степеней.
Если С Критерий Колмогорова
,D –максимальное значение между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами. Необходимое условие для использования Колмогорова: Число наблюдений более 100. По специальной таблице вероятностейс которой можно утверждать, что данное распределение является нормальным.
§5. Практическое значение моделирования рядов распределения.
1. возможность применить к эмпирическому распределению законов нормального распределения.
2. возможность использования правила 3хсигм.
3. Возможность избежать дополнительных трудоемких и затратных расчетов, по исследованию совокупности зная, что распределение нормальное.
Тема 7: Выборочное наблюдение.
§1. Понятие выборочного наблюдения. Причины его применения.
§2. Виды выборочного наблюдения.
§3. Ошибки выборочного наблюдения.
§4. Задачи выборочного наблюдения
§5. Распространение данных выборочного наблюдения на генеральную совокупность.
§6. Малая выборка.
§1. Понятие выбо рочного наблюдения. Причины его применения.
Выборочное наблюдение– такое не сплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные определенным образом.
Цель (задача) выборочного наблюдения: по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюдения всех правил и принципов статистического наблюдения.
Причины применения выборочного наблюдения:
1. экономия материальных, трудовых затрат и времени;
2. возможность более детально и подробно изучит отдельные единицы статистической совокупности и их группы.
3. некоторые специфические задачи можно решить только с применением выборочного наблюдения.
4. грамотное и хорошо организованное выборочное наблюдение дает высокую точность результатов.
Генеральная совокупность – совокупность единиц, из которых производится отбор.
Выборочная совокупность – совокупность отобранных для обследования единиц. В статистике принято различать параметры генеральной совокупности и выборочной совокупности.
|
Совокупность
|
Средняя |
Дисперсия |
Объем |
Доля |
Генеральная |
m |
s2 |
N |
p |
Выборочная |
|
S2 |
n |
p |
Виды выборочного наблюдения
По методу отбора:
Повторное
Попавшая в выборку единица после регистрации наблюдаемых признаков возвращаются в генеральную совокупность для участия в дальнейшей процедуре отбора.
Объем генеральной совокупности остается неизменным, что обуславливает постоянное попадание в выборку какой-либо единицы.
Бесповторное
Попавшая в выборку единица не возвращается в совокупность, из которой происходит отбор.
По способу отбора:
Собственно-случайнаязаключается в отношении единиц из генеральной совокупности наугад или наудачу без каких-либо элементов системности. Однако прежде чем проводить такую выборку, нужно убедиться, что все единицы генеральной совокупности имеют равные шансы попасть в выборку, т.е. в полном перечне единиц статистической совокупности отсутствуют пропуски или игнорирования отдельных единиц. Следует, также, четко установить границы генеральной совокупности. Технически сложившейся отбор осуществляется методом жеребьевки или с помощью таблицы случайных чисел.
Механическая выборка(каждый 5 по списку) применяется в случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т.е. имеется определенная последовательность в распределении единиц. При проведении механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая устанавливается соотношением генеральной совокупности и выборочной совокупности.
Опасность ошибки при механической выборке может появляться вследствие: случайного совпадения выбранного интервала и циклических закономерностей в расположении единиц генеральной совокупности.
Районированная выборкаиспользуется когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на группы (районы, страны) по какому-либо признаку.
Комбинированная выборка.
Отбор единиц может быть произведен:
1. либо пропорционально объему группы
2. либо пропорционально внутригрупповой дифференциации признака
1., где n – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности, ni–объем выборкиi-группы, Ni–объемiвыборки.
2.- этот способ является более точным, но в ходе проведения выборочного наблюдения очень трудно определить заранее о вариации. (до проявления наблюдения).
Серийный отбор.
Используется когда ЕСС объединены в небольшие группы (серии), например упаковка с готовой продукцией, студенческие группы. Сущность серийной выборки – серии отбираются собственно случайным, либо механическим способом, а затем осуществляется сплошное обследование внутри отобранной серии.
Комбинированный отбор.
Это комбинация рассмотренных выше способов отбора чаще применяется комбинация типичных и серийных серии, т.е. отбор серий из нескольких типических групп.
Отбор моет быть еще многоступенчатым и одноступенчатым, многофразным и однофразным.
Многоступенчатый отбор:из генеральной совокупности сначала извлекаются укрупненные группы, затем более мелкие, и так до тех пор, пока не будут отобраны те единицы, которые подвергаются обследованию.
Многофразная выборка:предполагает сохранение одной и той же единицы отбора на всех этапах его проведения. При этом отобранные на каждой последующей стадии единицы отбора подвергаются обследованию, программа которого расширяется (Пример: студенты всего института, затем студенты каких-то факультетов).
§3. Ошибки выборочного наблюдения.
Ошибки репрезентативности возникают только при выборочном наблюдении. Возникают в силу того, что выборочная совокупность не может в точности воспроизвести генеральную совокупность. Избежать их нельзя, но они легко поддаются прогнозированию и при необходимости их можно свести к минимуму.
Ошибка выборочного наблюдения – это разности между величиной параметра в генеральной совокупности и его величиной вычисленной по результатам выборочного наблюдения.Dх=-m+,Dх – предельная ошибка в выборке,m- генеральная средняя;- выборочная средняя.
Предельная ошибка выборки – величина случайная исследованию закономерностей случайны ошибок выборки посвящены работы Чебышева. В теореме Чебышева доказано, чтоDх не превышает:- средняя ошибка выборки.t-коэффициент доверия указывает на вероятность данной ошибки. Стр 42-43.
В случае, когда нужно определить t по известной F(t) берем F(t) ближайшую большую и по ней определяем t.
Предельная ошибка доль
, р – доля.
Если отбор был осуществлен бесповторным способом, то в формулы предельных ошибок добавляется
- поправка на бес повторность.
Для каждого вида выборочного наблюдения представленная ошибка, рассчитываются по разному:
1. собственно случайное и механическое наблюдение;
2. Районированное наблюдение
3. Серийная выборка
r – количество серий в выборке;
R – количество серий в генеральной совокупности;
;
- меж групповая дисперсия доли.
§4. Задачи выборочного наблюдения
Применяется для следующих задач:
1. n - ? для определения объема выборки по известной F(t),Dx.
2. определениеDx выборки по известной F(t), n
3. определение F(t) по известнымDx и n
1 задача n - ? Сначала n определяется по формуле повторного отбора,для бесповторного отбора:
Способы для определения дисперсии:
1. ее берут из предыдущих аналогичных исследований.
2. СКО»
3. СКО при нормальном распределении»1/6 размаха вариации.
4. если распределение заведомо асимметричное, то СКО»1/5 размаха вариации
5. Для доли применяется дисперсия максимально возможная р(1-р)=0,25
6. при nі100, тоs2=S2– выборочная дисперсия
30ЈnЈ100, тоs2=S2(n/n-1),s2– генеральная дисперсия
n При расчете n не следует гнаться за большим значением t и за малыми предельными ошибками, т.к. это ведет к увеличению n следовательно, к увеличению затрат. По следующему закону аналогично.
§5. Распространение данных выборочного наблюдения на генеральную совокупность.
Конечной целью любого ВН является характеристика генеральной совокупности.
Величины, рассчитанные по результатам ВН распространяются на генеральную совокупность с учетом предела их предельной ошибки.
Предположим, что потребление йогурта в месяц одним человеком.
250-20ЈmЈ250+20; 230ЈmЈ270
А всего 1000 человек
230000ЈmЈ270000
Для доли
p-DpЈpЈp+Dp
48%-5%ЈpЈ48%+5%
43%ЈpЈ53%
§6. Малая выборка.
В практике статистического исследования в современных условиях все чаще приходится сталкиваться с небольшими по объему выборками.
Малая выборка –выборка наблюдения численность единиц которого не превышает 30, nЈ30/
Разработка теории малой выборки была проделана английским статистом Госсет, писавшим под псевдонимом student в 1908 году.
Он доказал, что оценка расхождения между средствами малой выборки и генеральной выборки имеет особый закон распределения. При расчетах по малой выборке величинаs2не рассчитывается. tстдля возможных пределов ошибки пользуются критерием student. Стр.44-45.- вероятность обратного события.
Количество степеней свободы
d.f=n-1,
предельная ошибка малой выборки
предельная ошибка доли
Тема 8: Корреляционно-регрессионный анализ и моделирование.
§1. Понятие корреляционной связи и КРА.
§2. Условия применения и ограничения КРА.
§3. Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов.
§4. Применение парного линейного уравнения регрессии.
§5. Показатели тесноты связи и силы связи.
§6. Множественная корреляция.
§1. Понятие корреляционной связи и КРА.
Функциональная связь y=5x
Корреляционная связь
Различают 2 типа связей меду различными явлениями и их признаком функциональную и статистическую.
Функциональной называется такая связь когда с изменением значения одной из переменных вторая изменяется строго определенным образом, т.е., значению одной переменной соответствует одно или несколько точно заданных значений другой переменной. Функциональная связь возможна лишь в том случае, когда переменная у зависит от переменной х и не от каких других факторов не зависит, но в реальной жизни такое невозможно.
Статистическая связь существует в том случае, когда с изменением значения одной из переменных вторая может в определенных пределах принимать любые значения, но ее статистические характеристики изменяются по определенному закону.
Важнейший частный случай статистической связи – корреляционная связь. При корреляционной связи разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой переменной, т.е. с изменением значения признака х закономерным образом изменяется среднее значение признака у.
Слово корреляция ввел английский биолог и статист Френсис Галь (correlation)
Корреляционная связь может возникнуть разными путями:
·причинная зависимость вариации результативного признака от вариации факторного признака.
·Корреляционная связь может возникнуть между 2 следствиями одной причины (пожары, кол-во пожарников, размер пожара)
·Взаимосвязь признаков каждый из которых и причина и следствие одновременно (производительность труда и з/плата)
В статистике принято различать следующие виды зависимости:
1. парная корреляция – связь между 2мяпризнаками результативным и факторным, либо между двумя факторными.
2. частная корреляция – зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении другого факторного признака.
3. множественная корреляция – зависимость результативного признака от двух и более факторных признаков включенных в исследование.
Задачей корреляционного анализа является количественная оценка тесноты связи между признаками. В конце 19 века Гальтон и Пирсон исследовали зависимость между ростом отцов и детей.
Регрессия исследует форму связи. Задача регрессионного анализа – определение аналитического выражения связи.
Корреляционно-регрессионный анализ как общее понятие включает в себя изменение тесноты связи и установления аналитического выражения связи.
§2. Условия применения и ограничения КРА.
1. наличие массовых данных, т.к. корреляционная связь является статистической
2. необходима качественная однородность совокупности.
3. подчинение распределения совокупности по результативному и факторному признаку, нормальному закону распределения, что связано с применением метода наименьших квадратов.
§3. Парная регрессия на основе метод а наименьших квадратов.
Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи. По форме различают линейную регрессию, которая выражается уравнением прямой, и не линейную регрессиюили.
По направлению связи различают на прямую т.е. с увеличением признака х увеличивается признак у.
Обратная т.е. с увеличением х уменьшается у.
1. способ графический – нанеся эмпирические данные на поле корреляции, но более точная оценка производится с помощью метода наименьших квадратов.
2. МНК
Х – признак фактический
У - признак результативный
Разница между фактическим значением и значением рассчитанным по уравнению связи возведенное в квадрат должна стремиться к минимуму.
При МНК min сумма квадратов отклонений эмпирических значений у от теоретических полученных по выбранному уравнению регрессии.
Для линейной зависимости
