сходится к пределу
с вероятностью 1 только тогда, когда
Указанное выше событие
имеет своим дополнением событие
и сходимость с вероятностью 1 означает, что P(B)=0.
Очевидно, что условие теоремы достаточно рассмотреть для
.
Положим
События Вrm, m=1,2,.... убывают, и для
Докажем это.
Будем искать P(Br) так
Событие, обратное
имеет следующую структуру:
Показать самим, что следующее событие включает предыдущее.
По построению справедлива следующая формула
По третьей аксиоме теории вероятности
Построенный ряд D1, D2...Dnобразует неубывающую ограниченную последовательность, следовательно имеет предел сверху.
Поэтому возможен переход
Теорема Бернулли.
Рассмотрим систему независимых испытаний Бернулли.
Система испытаний неограниченна. С каждым i-видом испытаний свяжем дискретную величину Xi
Хiпринимают значения 1, если в i-том испытании произошло событие А и 0 - в противном случае
Рассмотрим случайную величину
- число появлений события А в n испытаниях
Рассмотрим случайную величину
Это частость наступления события А в n испытаниях
Используем неравенство Чебышева
гдеe- произвольное неотрицательное число
Рассмотрим
Полученатеорема Бернулли.
Частость наступления произвольного события при числе испытаний стремящемся к бесконечности по вероятности сходится к теоретической вероятности наступления события.
Обоснование того, что
- частость наступления события A заключается в следующем: с тоски зрения ранее приведенного определения, независимым испытаниям эквивалентны две схемы:
·проведение n раз одного и того же испытания
·проведение n независимых испытаний над n копиями одного и того же.
Аналогия: 100 раз монету подбрасывает 1 человек или 100 человек подбрасывают по одной монете. Закон больших чисел.
Рассмотрим независимые: одинаково распределенные случайные величины X1, X2, ..., Xnс конечным мат. ожиданием и дисперсией.
Рассмотрим их среднее арифметическое
Используя вспомогательное неравенство получим
получаем
При числе испытаний, стремящихся кҐсреднее арифметическое по вероятности сходится к математическому ожиданию.
В любом университетском учебнике доказывается сходимость с вероятностью 1. Использование закона больших чисел.
Пусть имеется одна случайная величина X, над которой проведено n испытаний. Результаты испытаний
Тогда в силу примечания, сделанного Бернулли, эти n-чисел можно считать результатом одного испытания над n-мерной случайной величиной, у которой Xiнезависимы и распределены как X, т.е.
Тогда
является реализацией следующего
Для
справедлив закон больших чисел, следовательно
является хорошей оценкой величины X. Основы теории характеристических функций
Комплексная случайная величина Zопределяется с помощью двумерной случайной величины (X,Y) следующим выражением
Операции над комплексными случайными величинами совпадают с операциями над комплексными числами.
Рассмотрим скалярную функцию случайных аргументов и числа i.
тогда в теории вероятности математическое ожидание случайной величины вычисляется по тем же формулам, что и
, просто i считают постоянным параметром.
Найдем мат.ожидание случайной величины Z.
1. Для комплексной случайной величины справедливы свойствааддитивностиимультиплекативностимат.ожидания.
2.Комплексные случайные величины Z1и Z2называютсянезависимыми, если независимы между собой двумерные случайные величины
, т.е. попарно независимы
Пусть Z1и Z2независимые комплексные случайные величины. Найдем мат.ожидание произведения
3.
а) дискретный случай
б) непрерывный случай
Двумерная случайная величина XY имеет плотность вероятности f(x,y).
Характеристическойфункцией действительной случайной величины X называется функция
Свойства характеристической функции
1. Для дискретного случая
2. Для непрерывного случая
Будем считать, что плотность вероятности f(x) существует, тогда
3.
Это свойство гарантирует, что характеристическая функция всегда существует
4. Пусть случайная величина
y=ax+b
5. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций.
Пусть
хi- независимы
Тогда
Отсюда
6. Если у случайной величины Х конечен начальный момент n-го порядка, то
а) для
- существуют к-е производные и при этом
б) имеет место разложение
Для того, чтобы полученное равенство было справедливо, необходимо доказать, что мы можем дифференцировать под знаком интеграла.
Для доказательства приведем ряд фактов.
1.Аналог теоремы Либега для интегралов Римана
Пусть функция
интегрируема по Риману и при всех х
сходимость в каждой точке известна.
Пусть при этом
- некоторая функция, мажорирующая данную. Пусть при этом конечен интеграл
т.е.
Тогда
2.Некоторые свойства мат.ожиданий действительной случайной величины
1) Если х>0, то МХ>0 - доказать самим
Дискретный случай
Введем случайную величину
Аналогично
Очевидно, что
Следовательно
Тогда
Пара
может принимать значения:
а) (-Ґ,+Ґ) в этом случае говорится, что МХ не определено.
б) (-Ґ, в) ( ( Очевидно, что
Вывод:
Если MX конечно, то конечно и M/X/
MX Если MXkконечно, то конечно и M/Xk/
MXk 3. Пусть
, тогда
на основании пункта 1.
4. Имеет место очевидное неравенство
5. Пусть существует
, тогда для всех
Сумма интегралов
Возвращаемся к доказательству.
Докажем формулу
Доказательство проведем по мат.индукции.
Проверяем при k=0
формула справедлива.
Пусть формула справедлива для k
Рассмотрим.
Получили:
Покажем, что интеграл
конечен.
Если
, то и
конечно. А
конечно по условию, тогда для
Таким образом можно применять теорему Либега.
Это мы доказали справедливость формулы
Доказательство разложения - пункт б) является справедливым, если при исследовании остаточного члена учесть, что /i/
1
1
B
A
W
B
W
A
B
W
A
A
W
m
r
B
A
AЧB
x+Dx
x
p(x)
a
b
c
F(x)
a
b
1
1
1
2
p(x)=le-lx
xn-1
xn
x1
x0
xn-1
xn
n(x,n,s)
v
z
y
x
f(xi, yj)DxiDyj) - вероятность попадания в элементарный объем, примыкающий к точке i, j.
