Размах между максимальными и минимальными значениями зарплаты чрезвычайно велик, особенно на предприятиях городов Сыктывкара, Печоры, Ухты, Воркуты, Усинска. Вместе с тем основная доля значений средней заработной платы довольно низкая (рис. 3):
Рисунок 3. Распределение предприятий по величине средней заработной платы по городам и районам.
Ящичковая диаграмма представляет ранжированный ряд значений заработной платы на предприятиях городов и районов. На всех ящичках значение медианы (жирная черта) смещено к низу, то есть ближе к минимальной величине заработной платы; в городах оно выше, чем в районах. Межквартильная широта (высота ящичка) показывает, насколько сильно различается уровень зарплаты у половины предприятий, находящихся в центре ранжированного ряда. Она несколько больше в городах (2-3 тыс.), ниже - в районах (1,2-2 тыс.). Экстремально высокие значения зарплаты на предприятиях городов начинаются с 6-10 тыс. рублей, районов - с 4-6 тыс.
Лишь города Усинск и Ухта выделяются большим разбросом значений средней зарплаты основной массы предприятий. Здесь больше межквартильная широта (соответственно 6,8 и 4,1 тыс. рублей) и выше граница экстремальных значений (с 19 и с 12 тыс.).
Величина средней заработной платы не превышала прожиточный минимум для трудоспособного населения (в среднем по республике он составил 1,9 тыс. рублей) более чем на трети предприятий, где была занята пятая часть работающих. Однако в большинстве районов эта доля была значительно выше (см. рис. 4):
Рисунок 4. Доля работающих со средней заработной платой меньше прожиточного минимума (в % к общей численности работающих в городе,районе)
Таким образом, наблюдается резкая дифференциация зарплаты в пределах городов и районов и между ними. Имеются экстремально высокие значения начисленной заработной платы, на порядок и более превышающие минимальные размеры заработной платы. При этом минимальные уровни зарплаты не представлены ни как выбросы, ни как экстремумы, то есть значения, явно отличающиеся от основной их массы. Напротив, основная доля работающих имеет довольно невысокий уровень зарплаты. Пятая часть из них получает заработную плату, не превышающую прожиточный минимум для трудоспособного населения, а в ряде районов - половина и более. Заработная плата половины работающих не превышает 3,1 тыс. рублей. Те, кто не относится ни к низко-, ни к высокооплачиваемым, получают в пределах 1,9-5,9 тыс. рублей. Меньшую, чем среднюю по республике заработную плату (4,6 тыс. рублей), имеют 66% работников.
Выявленные пропорции позволяют предположить, чтоуровень средней зарплатынесколькозавышен,если оценивать основную массу работающих. Поэтому возникает необходимость применения альтернативных показателей, характеризующих среднее значение заработной платы.
Одним из них является медиана, величина которой приводилась выше (3,1 тыс. рублей).
Иногда для аналитических целей используется 5%-ное усеченное среднее. Оно вычисляется путем упорядочивания значений по возрастанию, отсечением (удалением) 5% значений от начала и от конца, а затем - вычислением обычного среднего для оставшихся значений. Как уже отмечалось, именно эта доля работающих на крупных и средних предприятиях получает зарплату с экстремально высокими значениями. То есть 5%-ное усеченное среднее - более корректный показатель. По республике он составил 4,1 тыс. рублей, что меньше средней зарплаты (4,6 тыс.), но больше медианы.
И все же традиционно в аналитической работе используется среднее. Поэтому актуальной становится задача корректного вычисления этого показателя, то есть с учетом того, что оценка среднего очень чувствительна к экстремальным значениям.
Вычисление среднего, сравнение групповых средних допустимо только для переменных с так называемым нормальным распределением. В существующей практике органами статистики среднее вычисляется без проверки характера распределения, хотя последнее может оказаться не похожим на нормальное. Это может привести к ошибочным выводам, особенно когда распределение значительно отклоняется от нормального. Плотность нормального распределения представляет симметричную кривую, в которой численности растут до максимума, а потом с такой же постепенностью убывают. Приведение данных к нормальному распределению заключается в преобразовании исходных данных - логарифмировании, возведении в степень, извлечении корня и т.п.
В нашем случае кривая нормального распределения несимметрична, имеет длинный «хвост», что видно на гистограмме (рис. 1). Для улучшения распределения показателя «заработная плата» использовалось возведение в степень. После этого было найдено среднее, 5%-ное усеченное среднее, медиана. Далее с ними были произведены вычисления, обратные проведенным преобразованиям. В результате были получены следующие значения:
Таблица 14. Показатели, характеризующие средний уровень заработной платы.
|
Заработная плата по республике, рублей
|
|
Среднее
|
5%-ное усеченное среднее |
Медиана |
До преобразования |
4581 |
4044 |
3098 |
После преобразования |
3349 |
3349 |
3097 |
После преобразований значение медианы практически не изменилось, значения среднего и 5%-ного усеченного среднего сравнялись и гораздо меньше стали отличаться от медианы.
Таким образом, средняя заработная плата по крупным и средним предприятиям республики составила 4,6 тыс. рублей, однако для основной доли этих предприятий среднее намного ниже - 3,3 тыс. рублей.
Итак, в республике наблюдается существенная дифференциация уровней заработной платы, что отражает процесс расслоения общества по величине доходов. Применяемое в статистической практике среднее, вычисляемое без проверки характера распределения данных, испытывает влияние экстремальных значений и может искажать явления, происходящие в обществе. Значимость этого вывода имеет особую важность для показателей, характеризующих уровень жизни.
Заключение
В заключении подведем итоги. Средние величины — это обобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий, закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного.
Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей присущих массовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.
Отклонение индивидуального от общего — проявление процесса развития. В отдельных единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процесс развития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений во времени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, свойственная предприятиям на определенном этапе экономического развития; изменение благосостояния населения находит свое отражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и по отдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг.
Средний показатель — это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковым оно является по тому, что формируется в нормальных, естественных условиях существования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняя отображает объективное свойство явления. В действительности часто существует только отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотя понятие типичности явления и заимствуется из действительности. Средняя величина является отражения значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способы приближенного определения уровня распределения численности для сравнения сводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняя численность населения по отношению к территории (средняя плотность населения). В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будет находиться и содержание средней.
Сочетание общих средних с групповыми средними дает возможность ограничить качественно однородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иное сложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы, характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесс нарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходу позволяет выявить формирование новых социальных групп. В аналитической части мы рассмотрели частный пример использования средней величины. Подводя итог можно сказать, что область применения и использования средних величин в статистике довольно широка.
Список литературы:
1. Бестужев-Лада И.В. Мир нашего завтра, М.: «Мысль», 1998
2. Боярский А.Я., Громыко Г.Л. Общая теория статистики, М., 1995.
3. Гусаров В.М. Теория статистики. – М., 1998.
4. Российский статистический ежегодник. – М.:2002. – часть1
5.http://www.infostat.ru
6.http://www.vedi.ru.
Кетле А. Социальная физика или Опыт исследования о развитии человеческих способностей. Т. 1. Киев. – 1911. – С. 37.
1
x
2
Если условиться, что P(y=z-x)=0, если z-x не принадлежит к числу возможных значений Y, то
Аналогично
Формулы (1) и (2) определяют композицию величин X и Y.
Или
Непрерывный случай.
Пусть X и Y независимые непрерывные случайные величины. Пусть f(x,y) - двумерная плотность вероятности двумерной случайной величины XY. Плотность совместного распределения f(x,y) в силу независимости X и Y имеет вид
Рассмотрим функцию распределения случайной величины Z.
Для того, чтобы имело место событие
действительное число необходимо и достаточно, чтобы случайная точка Q(x,y) попала в область 1.
Тогда эта вероятность равна
Дифференцируя под знаком интеграла
Двумерное нормальное распределение
Двумерная случайная величина XY распределена нормально, если ее плотность вероятности f(x,y) имеет вид
Свойства двумерного нормального распределения
1.
2.
т.е. X и Y имеет одномерное нормальное распределение.
Сделаем подстановку
тут мы для краткости обозначили
Прибавляя и вычитая в показателе степени по e по
Сделаем подстановку
3.
то X и Y независимые случайные величины, то плотность вероятности двумерная распадается на произведение одномерных
Найдем условную плотность вероятности
Подставляя в полученное выражение значения
и
получаем
Вывод: условная плотность вероятности оказалось нормальной с мат. ожиданием
и дисперсией, постоянной
Многомерное нормальное распределение
n-мерная непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, если ее многомерная плотность вероятности в матричном виде
Показать, что формула
в двумерном случае переходит в
для n=2 находим
Показатель степени при e
Найдем обратную матрицу матрице В
Проводим непосредственное доказательство
B - ковариационная матрица
Показать, что эта формула в двумерном случае совпадает с выражением, рассмотренном ранее.
Свойства n-мерного нормального распределения.
- определитель матрицы B - неотрицательное число.
По критерию Сильвестрова, если
то все главные миноры матрицы B неотрицательные и определитель матрицы B неотрицателен.
Свойства многомерного нормального распределения
Все одномерные плотности вероятности - это плотности вероятности одномерной нормальной случайной величины с параметрами, определяемыми координатами вектора X и главной диагональю ковариационной матределяемыми координатами вектора X и главной диагональю ковариационной матрицы B. Кроме того, подвектор вектора
из k элементов, где
также распределен нормально.
Если все коэффициенты корреляционной или ковариационной матрицы B (все ее недиагональные элементы) равны нулю, то показать самим, что компоненты случайной величины являются независимыми.
если
,то многомерная плотность распадается на произведение одномерных, значит
независимы.
Теорема.
Проводим линейное преобразование Y=AX. A - квадратная невырожденная матрица, тогда вектор Y также имеет n-мерное нормальное распределение вида
Следствие: Из доказательства теоремы вытекает, что ковариационная матрица
Оператор A переводит произвольную область из арифметического пространства Rnв некоторую область того же пространства.
Рассмотрим произвольную область S, принадлежащую пространству элементарных событий случайной многомерной величины X. Ей соответствует область D в пространстве элементарных событий случайного вектора Y. При этом
Запишем эти вероятности
где |I| - якобиан перехода
Т.к. область S и соответственно D произвольны, то плотность вероятности случайного вектора x равна
n-мерная плотность вероятности случайного вектора Y равна
Преобразуем показатель степени e
Можно показать, что если нормальное распределение имеет данный вид, то B - ее ковариационная матрица
Следствие.
- многомерный нормальный вектор. A - прямоугольная матрица
Тогда Y=AX имеет нормальное распределение вида
Y - m-мерный вектор.
Для определенности положим, что матрица A имеет вид
A = (A1A2)
A1- квадратная матрица размером
A2- матрица размерности
Рассмотрим матрицу размерности
. Считается, что m первых столбцов независимы.
равен определителю полученной квадратной матрицы и не равен нулю.
E - единственная квадратная матрица размерности
Следовательно, на основании доказанной теоремы, вектор Y имеет многомерное нормальное распределение.
Z=CX
Компоненты вектора Z имеют вид
Пусть матрица А произвольная, но т.к. ее ранг равен m она содержит m линейно независимых столбцов. Путем перестановки столбцом соберем эти столбцы в первые m. И соответствующим образом пронумеруем компоненты вектора Х. Попадаем в предыдущий случай.
Предельные случайные последовательности.
Рассмотрим вероятностное пространство
в котором задана счетная последовательность случайных величин, каждая из которых является измеримой
Покажем, что событие
измеримо, т.е. имеет вероятность наступления. Действительно событие
Каждое из этих событий в пересечении принадлежит
- алгебре. По определению
- алгебры ей принадлежит и счетное перечисление этих событий, таким образом событие имеет вероятность наступления.
Пусть последовательность
имеет предел при
, который может быть постоянной или случайной величиной. В теории вероятности этот предел понимают следующим образом: под сходимостью последовательности к пределу понимают событие А которое может задаваться следующим образом:
1.
Событие А состоит из всех m, удовлетворяющих условию: для любого как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется
2. А: Если предел
,то
Для любого, как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется
3.Если предел случайная величина, то
Показать самим, что событие А с
- алгебре и следовательно имеет вероятность наступления
любое событие
измеримо, как доказывалось ранее
измеримы, и следовательно имеет вероятность наступления. Разность
-алгебре. Следовательно событие А имеет вероятность наступления.
Если предел константа, то эквиваленты 1 и 2, если случайная величина - то 1 и 3.
Существующие определения сходимости случайных величин.
Пусть имеется счетная последовательность случайных величин и пусть
предел последовательности.
1. Счетная последовательность сходится к пределу с вероятностью 1, если Р(А)=1.
Это не вероятность достоверного события.
2. Сходимость по поверхности.
Счетная последовательность случайных величин
сходится к
по поверхности, если
3. Сходимость в среднеквадратичном.
Последовательность случайных величин сходится к пределу в среднеквадратичном, если выполняется
Покажем, что из сходимости в среднеквадратичном следует сходимость по вероятности.
Воспользуемся Неравенством Чебышева
При любом конечном r если выполняется сходимость в среднеквадратичном, то этот предел существует и равен 0, т.к. числитель сходится к 0, а знаменатель конечен.
Теорема.
Счетная последовательность
