и
и представим эти уравнения в векторной форме [12]
(5.10)
где матрицыВразмерности
иСразмерности
равны [12]
(5.11)
Величина
в уравнениях (5.10) определяется по формуле (5.5).
Если матрицыВиСнеотрицательны и неразложимы, то, как это следует из теоремы Перрона – Фробениуса, при
векторы
и
- сходятся к собственным векторам матрицВиС, соответствующим максимальным собственным числам этих матриц [12]
(5.12)
Предельные значения векторовхиkможно вычислить из уравнений [12]:
(5.13)
где
максимальные собственные числа матрицВиС.
Условие неотрицательности матрицВиСлегко выполняется выбором неотрицательных элементов
матрицыХоценок объектов экспертами.
Условие неразложимости матрицВиСпрактически выполняется, поскольку, если эти матрицы разложимы, то это означает, что эксперты и объекты распадаются на независимые группы. При этом каждая группа экспертов оценивает только объекты своей группы. Естественно, что получать групповую оценку в этом случае нет смысла. Таким образом, условия неотрицательности и неразложимости матрицВиС, а следовательно, и условия сходимости процедур (5.4), (5.5), (5.6) в практических условиях выполняются.
Следует заметить, что практическое вычисление векторов групповой оценки объектов и коэффициентов компетентности проще выполнять по рекуррентным формулам (5.4), (5.5), (5.6). Определение предельных значений этих векторов по уравнению (5.13) требует применения вычислительной техники.
Рассмотрим теперь случай, когда эксперты производят оценку множества объектов методом ранжирования так, что величины
есть ранги. Обработка результатов ранжирования заключается в построении обобщенной ранжировки. Для построения такой ранжировки введем конечномерное дискретное пространство ранжировок и метрику в этом пространстве. Каждая ранжировка множества объектовj-м экспертом есть точка
в пространстве ранжировок.
Ранжировку
можно представить в виде матрицы парных сравнений, элементы которой определим следующим образом [12]:
Очевидно, что
, поскольку каждый объект эквивалентен самому себе. Элементы матрицы
антисимметричны
.
Если все ранжируемые объекты эквивалентны, то все элементы матрицы парных сравнений равны нулю. Такую матрицу будем обозначать
и считать, что точка в пространстве ранжировок, соответствующая матрице
, является началом отсчета.
Обращение порядка ранжируемых объектов приводит к транспонированию матрицы парных сравнений.
Метрика
как расстояние междуi-й иj-й ранжировками определяется единственным образом формулой [12]
если выполнены следующие 6 аксиом [12]:
1.
причем равенство достигается, если ранжировки
и
тождественны;
2.
3.
причем равенство достигается, если ранжировка «лежит между» ранжировками
и
. Понятие «лежит между» означает, что суждение о некоторой паре
объектов в ранжировке совпадает с суждением об этой паре либо в
, либо в
или же в
в
а в
4.
где
получается из
некоторой перестановкой объектов, а
из
той же самой перестановкой. Эта аксиома утверждает независимость расстояния от перенумерации объектов.
5. Если две ранжировки
,
одинаковы всюду, за исключениемn-элементного множества элементов, являющегося одновременно сегментом обеих ранжировок, то
можно вычислить, как если бы рассматривалась ранжировка только этихn-объектов. Сегментом ранжировки называется множество, дополнение которого непусто и все элементы этого дополнения находятся либо впереди, либо позади каждою элемента сегмента. Смысл этой аксиомы состоит в том, что если две ранжировки полностью согласуются в начале и конце сегмента, а отличие состоит в упорядочении среднихn-объектов, то естественно принять, что расстояние между ранжировками должно равняться расстоянию, соответствующему ранжировкам среднихn-объектов.
6. Минимальное расстояние равно единице.
Пространство ранжировок при двух объектах можно изобразить в виде трех точек, лежащих на одной прямой. Расстояния между точками равны
При трех объектах пространство всех возможных ранжировок состоит из 13 точек.
Используя введенную метрику, определим обобщенную ранжировку как такую точку, которая наилучшим образом согласуется с точками, представляющими собой ранжировки экспертов. Понятие наилучшего согласования на практике чаще всего определяют как медиану и среднюю ранжировку.
Медиана есть такая точка в пространстве ранжировок, сумма расстояний от которой до всех точек - ранжировок экспертов является минимальной. В соответствии с определением медиана вычисляется из условия
Средняя ранжировка есть такая точка, сумма квадратов расстояний от которой до всех точек – ранжировок экспертов является минимальной. Средняя ранжировка определяется из условия
Пространство ранжировок конечно и дискретно, поэтому медиана и средняя ранжировка могут быть только какими-либо точками этого пространства. В общем случае медиана и средняя ранжировка могут не совпадать ни с одной из ранжировок экспертов.
Если учитывается компетентность экспертов, то медиана и средняя ранжировка определяются из условий [12]:
где
- коэффициенты компетентности экспертов.
Если ранжировка объектов производится по нескольким показателям, то определение медианы вначале производится для каждого эксперта по всем показателям, а затем вычисляется медиана по множеству экспертов [12]:
(j=1,2,…,m);
где
- коэффициенты весов показателей.
Основным недостатком определения обобщенной ранжировки в виде медианы или средней ранжировки является трудоемкость расчетов. Естественный способ отыскания
или
в виде перебора всех точек пространства ранжировок неприемлем вследствие очень быстрого роста равномерности пространства при увеличении количества объектов и, следовательно, роста трудоемкости вычислений. Можно свести задачу отыскания
или
к специфической задаче целочисленного программирования. Однако это не очень эффективно уменьшает вычислительные трудности.
Расхождение обобщенных ранжировок при различных критериях возникает при малом числе экспертов и несогласованности их оценок. Если мнения экспертов близки, то обобщенные ранжировки, построенные по критериям медианы и среднего значения, будут совпадать.
Сложность вычисления медианы или средней ранжировки привела к необходимости применения более простых способов построения обобщенной ранжировки.
К числу таких способов относится способ сумм рангов.
Этот способ заключается в ранжировании объектов по величинам сумм рангов, полученных каждым объектом от всех экспертов. Для матрицы ранжировок
составляются суммы [12]
(i=1,2,…,n).
Далее объекты упорядочиваются по цепочке неравенств
Для учета компетентности экспертов достаточно умножить каждуюi-ю ранжировку на коэффициент компетентностиj-го эксперта
В этом случае вычисление суммы рангов дляi-го объекта производится по следующей формуле [12]:
(i=1,2,…,n).
Обобщенная ранжировка с учетом компетентности экспертов строится на основе упорядочения сумм рангов для всех объектов.
Следует отметить, что построение обобщенной ранжировки по суммам рангов является корректной процедурой, если ранги назначаются как места объектов в виде натуральных чисел 1, 2, ...,n. Если назначать ранги произвольным образом, как числа в шкале порядка, то сумма рангов, вообще говоря, не сохраняет условие монотонности преобразования и, следовательно, можно получать различные обобщенные ранжировки при различных отображениях объектов на числовую систему. Нумерация мест объектов может быть произведена единственным образом с помощью натуральных чисел. Поэтому при хорошей согласованности экспертов построение обобщенной ранжировки по методу сумм рангов дает результаты, согласующиеся с результатами вычисления медианы.
Еще одним более обоснованным в теоретическом отношении подходом к построению обобщенной ранжировки является переход от матрицы ранжировок к матрице парных сравнений и вычисление собственного вектора, соответствующего максимальному собственному числу этой матрицы. Упорядочение объектов производится по величине компонент собственного вектора.
3.3. Оценка согласованности мнений экспертов
При ранжировании объектов эксперты обычно расходятся во мнениях по решаемой проблеме. В связи с этим возникает необходимость количественной оценки степени согласия экспертов. Получение количественной меры согласованности мнений экспертов позволяет более обоснованно интерпретировать причины в расхождении мнений.
В настоящее время известны две меры согласованности мнений группы экспертов: дисперсионный и энтропийный коэффициенты конкордации.
Дисперсионный коэффициент конкордации. Рассмотрим матрицу результатов ранжировкиnобъектов группой изmэкспертов
(j=1,…,m;i=1,…,n), где
- ранг, присваиваемыйj-м экспертомi-му объекту. Составим суммы рангов по каждому столбцу. В результате получим вектор с компонентами [12]
(i=1,2,…,n). (5.14)
Величины
рассмотрим как реализации случайной величины и найдем оценку дисперсии. Как известно, оптимальная по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценка дисперсии определяется формулой [12]:
, (5.15)
где
- оценка математического ожидания, равная
(5.16)
Дисперсионный коэффициент конкордации определяется как отношение оценки дисперсии (5.15) к максимальному значению этой оценки [12]
. (5.17)
Коэффициент конкордации изменяется от нуля до единицы, поскольку
.
Вычислим максимальное значение оценки дисперсии для случая отсутствия связанных рангов (все объекты различны). Предварительно покажем, что оценка математического ожидания зависит только от числа объектов и количества экспертов. Подставляя в (5.16) значение
из (5.14), получаем [12]
(5.18)
Рассмотрим вначале суммированные поiпри фиксированномj. Это есть сумма рангов дляj-го эксперта. Поскольку эксперт использует для ранжировки натуральные числа от 1 доn, то, как известно, сумма натуральных чисел от 1 доnравна [12]
(5.19)
Подставляя (5.19) в (5.18), получаем [12]
(5.20)
Таким образом, среднее значение зависит только от числа экспертовmи числа объектовn.
Для вычисления максимального значения оценки дисперсии подставим в (5.15) значение
из (5.14) и возведем в квадрат двучлен в круглой скобке. В результате получаем [12]
(5.21)
Учитывая, что из (5.18) следует
получаем [12]
(5.22)
Максимальное значение дисперсии достигается при наибольшем значении первого члена в квадратных скобках. Величина этого члена существенно зависит от расположения рангов - натуральных чисел в каждой строкеi. Пусть, например, всеmэкспертов дали одинаковую ранжировку для всехnобъектов. Тогда в каждой строке матрицы
будут расположены одинаковые числа. Следовательно, суммирование рангов в каждойi-u строке даетm-кратное повторениеi-ro числа [12]:
Возводя в квадрат и суммируя поi, получаем значение первого члена в (5.22) [12]:
(5.23)
Теперь предположим, что эксперты дают несовпадающие ранжировки, например, для случаяn=mвсе эксперты присваивают разные ранги одному объекту. Тогда [12]
Сравнивая это выражение с
приm=n, убеждаемся, что первый член в квадратных скобках формулы (9) равен второму члену и, следовательно, оценка дисперсии равна нулю.
Таким образом, случай полного совпадения ранжировок экспертов соответствует максимальному значению оценки дисперсии. Подставляя (5.23) в (5.22) и выполняя преобразования, получаем [12]
(5.24)
Введем обозначение [12]
(5.25)
Используя (5.25), запишем оценку дисперсии (5.15) в виде [12]
(5.26)
Подставляя (5.24), (5.25), (5.26) в (5.17) и сокращая на множитель (n—1), запишем окончательное выражение для коэффициента конкордации [12]
(5.27)
Данная формула определяет коэффициент конкордации для случая отсутствия связанных рангов.
Если в ранжировках имеются связанные ранги, то максимальное значение дисперсии в знаменателе формулы (5.17) становится меньше, чем при отсутствии связанных рангов. Можно показать, что при наличии связанных рангов коэффициент конкордации вычисляется по формуле [12]:
(5.28)
где
(5.29)
В формуле (5.28)
- показатель связанных рангов вj-й ранжировке,
- число групп равных рангов вj-й ранжировке,
- число равных рангов вk-й группе связанных рангов при ранжировкеj-м экспертом. Если совпадающих рангов нет, то
=0,
=0 и, следовательно,
=0. В этом случае формула (5.28) совпадает с формулой (5.27).
Коэффициент конкордации равен 1, если все ранжировки экспертов одинаковы. Коэффициент конкордации равен нулю, если все ранжировки различны, т. е. совершенно нет совпадения.
Коэффициент конкордации, вычисляемый по формуле (5.27) или (5.28), является оценкой истинного значения коэффициента и, следовательно, представляет собой случайную величину. Для определения значимости оценки коэффициента конкордации необходимо знать распределение частот для различных значений числа экспертовmи количества объектовn. Распределение частот дляWпри
и
вычислено в [52]. Для больших значенийmиnможно использовать известные статистики. При числе объектовn>7 оценка значимости коэффициента конкордации может быть произведена по критерию
. ВеличинаWm(n—1) имеет
распределение сv=n–1 степенями свободы.
При наличии связанных рангов
распределение сv=n—1 степенями свободы имеет величина [12]:
(5.30)
Энтропийный коэффициент конкордацииопределяется формулой (коэффициент согласия) [12]:
(5.31)
гдеН– энтропия, вычисляемая по формуле
(5.32)
а
- максимальное значение энтропии. В формуле для энтропии
- оценки вероятностейj-го ранга, присваиваемогоi-му объекту. Эти оценки вероятностей вычисляются в виде отношения количества экспертов
, приписавших объекту
рангjк общему числу экспертов [12].
(5.33)
Максимальное значение энтропии достигается при равновероятном распределении рангов, т. е. когда
. Тогда [12]
(5.34)
Подставляя это соотношение в формулу (5.32), получаем [12]
(5.35)
Коэффициент согласия изменяется от нуля до единицы. При
расположение объектов по рангам равновероятно, поскольку в этом случае
. Данный случай может быть обусловлен либо невозможностью ранжировки объектов по сформулированной совокупности показателей, либо полной несогласованностью мнений экспертов. При
, что достигается при нулевой энтропии (H=0), все эксперты дают одинаковую ранжировку. Действительно, в этом случае для каждого фиксированного объекта
все эксперты присваивают ему один и тот же рангj, следовательно,
, a
Поэтому иH=0.
Сравнительная оценка дисперсионного и энтропийного коэффициентов конкордации показывает, что эти коэффициенты дают примерно одинаковую оценку согласованности экспертов при близких ранжировках. Однако если, например, вся группа экспертов разделилась в мнениях на две подгруппы, причем ранжировки в этих подгруппах противоположные (прямая и обратная), то дисперсионный коэффициент конкордации будет равен нулю, а энтропийный коэффициент конкордации будет равен 0,7. Таким образом, энтропийный коэффициент конкордации позволяет зафиксировать факт разделения мнений на две противоположные группы. Объем вычислений для энтропийного коэффициента конкордации несколько больше, чем для дисперсионного коэффициента конкордации.
3.4. Обработка парных сравнений объектов
При решении задачи оценки большого числа объектов (ранжирование, определение относительных весов, балльная оценка) возникают трудности психологического характера, обусловленные восприятием экспертами множества свойств объектов. Эксперты сравнительно легко решают задачу парного сравнения объектов. Возникает вопрос, каким образом получить оценку всей совокупности объектов на основе результатов парного сравнения, не накладывая условия транзитивности? Рассмотрим алгоритм решения этой задачи. Пустьmэкспертов производят оценку всех пар объектов, давая числовую оценку [12]
(5.36)
Если при оценке пары
экспертов высказались в пользу предпочтения
экспертов высказались наоборот
и
экспертов считают эти объекты равноценными, то оценка математического ожидания случайной величины
равна [12]
(5.37)
Общее количество экспертов равно сумме
(5.38)
Определяя отсюда
и подставляя его в (5.37), получаем [12]
(5.39)
Очевидно, что
Совокупность величин
образует матрицу
на основе которой можно построить ранжировку всех объектов и определить коэффициенты относительной важности объектов.
Введем вектор коэффициентов относительной важности объектов порядкаtследующей формулой [12]:
(5.40)
где
- матрица
математических ожиданий оценок пар объектов,
- вектор коэффициентов относительной важности объектов порядкаt.Величина
равна [12]
(5.41)
Коэффициенты относительной важности первого порядка есть относительные суммы элементов строк матрицыX. Действительно, полагаяt=1, из (5.40) получаем [12]
(5.42)
Коэффициенты относительной важности второго порядка (t=2} есть относительные суммы элементов строк матрицыX2[12].
(5.43)
Если матрицаХнеотрицательна и неразложима, то при увеличении порядка
величина
сходится к максимальному собственному числу матрицыХ[12]
(5.44)
а вектор коэффициентов относительной важности объектов стремится к собственному вектору матрицыX, соответствующему максимальному собственному числу
(5.45)
Определение собственных чисел и собственных векторов матрицы производится решением алгебраического уравнения [12]
(5.46)
где Е—единичная матрица, и системы линейных уравнений [12]
(5.47)
гдеk– собственный вектор матрицыX, соответствующий максимальному собственному числу
. Компоненты собственного вектора есть коэффициенты относительной важности объектов, измеренные в шкале отношений.
С практической точки зрения вычисление коэффициентов относительной важности объектов проще производить последовательной процедурой по формуле (5.40) приt=1, 2, … Как показывает опыт, 3-4 последовательных вычислений достаточно, чтобы получить значения
иk, близкие к предельным значениям, определяемым уравнениями (5.46), (5.47).
Матрица
неотрицательная, поскольку все ее элементы (5.39) неотрицательны. Матрица называется неразложимой, если перестановкой рядов (строк и одноименных столбцов) ее нельзя привести к треугольному виду [12]
(5.48)
где
- неразложимые подматрицы матрицыX. Представление матрицыХв виде (5.48) означает разбиение объектов наlдоминирующих множеств [12]
(5.49)
При1=nматрицаХнеразложима, т. е. существует только одно доминирующее множество, совпадающее с исходным множеством объектов. Разложимость матрицыХозначает, что среди экспертов имеются большие разногласия в оценке объектов.
