1. Вступление.
С первого взгляда может показаться, что никаких законов, управляющих случайными явлениями нет и быть не может. Однако, если разобраться, случайные явления происходят не так уж хаотически. Во многих случаях обнаруживаются закономерности. Эти закономерности не похожи на обычные законы физических явлений; они весьма разнообразны.
Возьмем, к примеру, игру в монету. При бросании может быть два равновероятных исхода: монета может упасть кверху гербом или решкой. Бросая монету один раз нельзя предугадать, какая сторона окажется сверху. Однако, бросив монету 100 раз, можно сделать выводы. Можно заранее сказать, что герб выпадет не 1 и не 2 раза, а больше, но и не 99 и не 98 раз, а меньше. Число выпадений герба будет близко к 50. На самом деле, и на опыте можно в этом убедиться, что это число будет заключено между 40 и 60.
Так же статистически установлено, что на 1000 детей приходится 511 мальчиков и 489 девочек (т.е. 48,9% и 51,1% соответственно). Это поразительное постоянство отмечено многими учеными, среди которых и Симон Лаплас, один из основателей Теории. Эта информация позволяет нам с большой точностью предсказывать вероятность количества мальчиков или девочек в тот или иной год (эти расчеты, например, используются призывной комиссией).
2. Определения и основные понятия Теории.
Теперь перейдем к алгебраическому выражению Теории. Вот классическое определение: определение: Пусть множество исходов опыта состоит изnравновероятных исходов. Еслиmиз них благоприятствуют событиюA, то вероятностью событияAназывается число
Давая такое определение, мы рассчитываем, что (в силу равновероятности исходов опыта) приn-кратном повторении опыта событиеAнаступит в
случаях (именно в этом заключается практическая ценность Теории).
Следует объяснить некоторые понятия Теории, которые будут необходимы в дальнейшем:
1. Достоверное событие– событие, которое обязательно должно произойти в результате опыта. Такое событие обозначается буквойE(Expected)
2. Невозможное событие– событие, которое не может произойти в результате опыта. Такое событие обозначается буквойU(Unreal)
3. Несовместные событияНесовместные события– события, которые не могут произойти в результате опыта одновременно.
4. Совместные события– события, которые могут произойти в результате опыта одновременно.
5. СобытиеAблагоприятствуетсобытиюB, если из того, что произошло событиеAследует событиеB. (т.е.
)
6. ОбъединениемсобытийAиBназывается событие, состоящее в том, что в результате опыта произошло хотя бы одно из этих событий (т.е.
).
7. ПересечениемсобытийAиBназывается событие, состоящее в том, что в результате опыта произошли оба из этих событий (т.е.
).
8. Закон больших чисел.
ПустьKраз мы проделали испытания, иNраз в результате опыта произошло событиеA. Тогда число
будет называтьсячастотой появлениясобытияА.Закон больших чиселутверждает, что при вероятности события А равной
(причемNиKнам неизвестны), то всегда можно выбрать достаточно большоеN, чтобы выполнялось соотношение:
где
(ипсилон) - сколь угодно малое положительное неравное нулю число.
Это значит, что при достаточно большом количестве испытаний частота появления того или иного события будет сколь угодно мало отличаться от нуля.
Это соотношение дает возможность устанавливать опытным путем с достаточно хорошим приближением вероятность неизвестного нам события.
3. Задачи и примеры.
Первые расчеты вероятностей событий начались еще в XVII веке с подсчета шансов игроков в азартных играх. В первую очередь это была игра в кости.
Задача 1.
Бросили кость. Какова вероятность того, что выпало число 5?
Решение.
Всего существует 6 вариантов выпадения кости (n= 6). Все эти варианты равновероятны, т.к. кость сделана так, что у всех сторон есть одинаковые шансы оказаться сверху, следовательно,m= 1; значит
ГдеР(5) – вероятность выпадения пятерки.
Задача 2.
Какова вероятность того, что при бросании выпадет четное число очков?
Решение.
Благоприятных возможностей здесь три: 2; 4; 6. Поэтомуm= 3, всего исходов 6 (n= 6), следовательно
Задача 3.
Бросили 2 игральные кости и подсчитали сумму выпавших очков. Что вероятней – получить в сумме 7 или 8?
Решение.
Вот множество исходов опыта: «В сумме выпало 2 очка», «В сумме выпало 3 очка»,…, «В сумме выпало 12 очков». Нас интересуют событияA= «выпало 7 очков» иB= «выпало 8 очков». Но это не равновероятные исходы опыта, как может показаться с первого раза. Действительно, 2 в сумме может получиться единственным образом: 2 = 1+1, а 4 = 1 + 3 и 4 = 2 + 2, следовательно, шансов на то, что выпадет 4, больше. Рассмотрим такое множество событий: «на одной кости выпалоkочков, а на другой кости выпалоpочков».
.Но это тоже не равновероятные исходы. Чтобы получить равновероятностные исходу опыта, покрасим кости в разные цвета (черный и белый). В итоге мы имеем: «на белой кости выпалоkочков, на черной –p». Обозначим это (k;p). Два таких события попарно несовместны. Число всех возможных исходовn= 62 = 36 (каждое из 6 очков на белой кости может сочетаться с любым из 6 очков на черной кости). Из этих 36 исходов событиюAбудут благоприятствовать исходы: (1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1), т.е. всего 6 (m= 6). По формуле имеем:
СобытиюBбудут благоприятствовать исходы: (2;6); (3;5); (4;4); (5;3); (6;2), т.е. всего 5. По формуле, имеем:
,следовательно, получить в сумме 7 очков – более вероятное событие, чем получить 8.
Эта задача впервые была решена игроками в кости, и уже потом – решена математически. Она стала одной из первых, при обсуждении которых начала складываться Теория.
Задача 4.
В коробке лежит 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугад вынимается шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
Решение.
В результате опыта может наступить 2 события:A= «Вынут черный шар» иB= «Вынут белый шар». Но эти 2 события не равновероятны, т.к. белых шаров больше. Для получения множества равновероятных исходов пронумеруем шары: с 1 по 12 – белые и с 13 по 20 – черные. Все событияEk= «Вынут шар с номеромk» равновероятны, т.к. шары на ощупь неотличимы и вынимаются на удачу. Тем более, все 20 событийEkи являются множеством исходов нашего опыта, следовательно,n= 20. Из них 12 благоприятствуют интересующему нас событиюB, следовательно,m= 12. Следовательно
Это значит, что с вероятностью 0,6 (60%) мы вытащим белый шар.
В Теории существует такое понятие, какнезависимость событий. У каждого из нас есть интуитивное представление о независимости событий. Так, например, мы понимаем, что, если бросить две монеты, то то, что выпало на одной монете, не зависит от того, что выпало на другой. Но т.к. Теория – математическая наука, то надо дать точное определение независимости событий. определение: Два событияАиВназываются независимыми, если выполняется равенство:
Задача 6.
Два охотника независимо друг от друга одновременно стреляют по зайцу. Заяц будет убит, если попали оба. Какие у зайца шансы выжить, если первый охотник попадает с вероятностью 0,8, а второй с вероятностью 0,75?
Решение.
Рассмотрим два события:А= «в зайца попал 1-й охотник» иВ= «в зайца попал 2-й охотник». Нас интересует событие
(т.е. произошло и событиеAи событиеВ). В силу независимости событий, имеем:
Это значит, что в 6 случаях из 10 зайца пристрелят.
Задача 7.
Известно, что на каждые 10 билетов приходится один выигрышный. Какова вероятность выигрыша, если имеется 50 билетов?
Решение.
По известной нам формуле легко вычислить, что вероятность выигрыша одного билета 0,1; вероятность того, что он не выиграет 0,9. Выигрыши и проигрыши билетов друг от друга независимы. Вероятность того, что не выиграет первый билет 0,9. Вероятность того, что не выиграет второй тоже 0,9. Тогда вероятность того, что не выиграет ни первый, ни второй, по определению независимых событий
Точно так же показывается, вероятность того, что не выиграют первые 3 билета, составляет 0,93; а вероятность того, что не выиграют все 50 билетов = 0,950; т.е. приблизительно 0,005. Соответственно, вероятность выигрыша хотя бы одного билета 0,995 (99,5%).
Задача 7.
Один французский рыцарь, де Мере, был страстным игроком в кости. Он всячески старался разбогатеть и придумывал для этого разные усложненные правила.
Он, в частности, придумал такие правила: бросают 4 кости и он бьется об заклад, что хотя бы на одной выпадет 6. Он считал, что в большей части случаев он останется в выигрыше. Чтобы подтвердить это, он обратился к своему старому знакомому – Блезу Паскалю с просьбой рассчитать, какова вероятность выигрыша в этой игре.
Приведем расчет Паскаля.
При каждом отдельном бросании вероятность событияA= «выпала шестерка» =
.Вероятность событияB= «не выпала шестерка» =
. Кубики не зависят друг от друга, следовательно, по формуле
вероятность того, что шестерка не выпадет два раза подряд, составляет
Точно так же показывается, что при трехкратном бросании вероятность невыпадения 6 составляет
А при четырехкратном –
А
, следовательно, вероятность выигрыша
.Значит, при каждой игре больше половины шансов было за то, что де Мере выиграет; при многократном повторении игры он наверняка оставался в выигрыше.
